Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial
através da superficie
suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
é a porção do parabolóide
abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da parte do paraboloide
através da parte do paraboloide
que fica abaixo do plano
, com orientação “para cima”. Vamos tratar a superfície como gráfico de uma função
e usar a fórmula de fluxo para gráficos.
Passo 2
Como
com
o vetor área orientado para cima é
Aqui precisamos de
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
logo
O campo é
, então
Passo 4
A região
no plano
vem da condição “abaixo de
”:
Essa desigualdade pode ser reescrita como
que é um disco de raio
centrado em
.
Passo 5
O fluxo é
Como
é simétrico em
(se
então
) e a função integranda é ímpar em
, a integral se anula:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.