Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
3 n-14 n+5

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência an = 3n - 14n + 5 e queremos determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Esse problema faz parte de monotonicidade de sequências e, para decidir, vamos usar a definição de sequência crescente, que exige an+1 > an para todo n.

Passo 2

Para aplicar a definição, precisamos comparar o termo seguinte an+1 com o termo atual an. Substituindo n por n+1 na expressão de an, obtemos
an+1 = 3(n+1) - 14(n+1) + 5 = 3n + 24n + 9 .

Passo 3

Agora calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1 - an = 3n+24n+9 - 3n-14n+5
Para subtrair, colocamos no mesmo denominador e expandimos o numerador:
Numerador:
(3n+2)(4n+5) - (3n-1)(4n+9)
Expandindo:
(3n+2)(4n+5) = 12n^2 + 23n + 10,
(3n-1)(4n+9) = 12n^2 + 23n - 9
Subtraindo os dois resultados:
(12n^2 + 23n + 10) - (12n^2 + 23n - 9) = 19
O denominador comum é (4n+9)(4n+5), que é positivo para todo n>=1. Assim,
an+1 - an = 19(4n+9)(4n+5) > 0

Passo 4

Como a diferença an+1 - an é sempre positiva, concluímos que a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é crescente.

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