Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
2 n-14 n-1

Passo 1

O problema pede para verificar se a sequência an=2n-14n-1 é crescente, decrescente ou não-monótona. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências e vamos usar a comparação entre an+1 e an.

Passo 2

Calculamos primeiro an+1 e a diferença an+1-an:
an+1=2(n+1)-14(n+1)-1=2n+14n+3,
an+1-an=2n+14n+3-2n-14n-1 =(2n+1)(4n-1)-(2n-1)(4n+3)(4n+3)(4n-1)

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
(2n+1)(4n-1)=8n^2+2n-1,
(2n-1)(4n+3)=8n^2+2n-3,
Subtraindo:
(8n^2+2n-1)-(8n^2+2n-3)=2,
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an+1-an=2(4n+3)(4n-1)

Passo 4

Como (4n+3)(4n-1)>0 para todo n>=1, segue que an+1-an>0. Isso significa que an+1>an para todo n, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é crescente.

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