Usando a substituição
, e sabendo que
, use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nesse exercício, estamos lidando com Integração por Partes e funções inversas. Para resolver, vamos usar a substituição
e a fórmula da derivada da função inversa, que é
. Basicamente, vamos decompor a integral em partes para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos focar em resolver
usando Integração por Partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, podemos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.