Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
© integral ln (raiz[3]x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ln (raiz[3]x) , dx. Nesse exercício, estamos lidando com Integração por Partes e funções inversas. Para resolver, vamos usar a substituição u = f^-1(x) e a fórmula da derivada da função inversa, que é ddx f^-1(x) = 1f'(x). Basicamente, vamos decompor a integral em partes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo. Sabemos que raiz[3]x é o mesmo que x^1/3. Então, podemos reescrever a integral como:
integral ln (x^1/3) , dx

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b ln(a), temos:
ln (x^1/3) = 13 ln(x)
Então, a integral fica:
integral 13 ln(x) , dx = 13 integral ln(x) , dx

Passo 4

Vamos focar em resolver integral ln(x) , dx usando Integração por Partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, podemos escolher:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx
Simplificando:
x ln(x) - x + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
13 integral ln(x) , dx = 13 ( x ln(x) - x ) + C
Podemos simplificar ainda mais:
13 x ln(x) - 13 x + C

Resposta

A integral integral ln (raiz[3]x) , dx é igual a 13 x ln(x) - 13 x + C, onde C é a constante de integração.

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