Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(n) integral x^2 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Técnica de Integração por Partes. A gente precisa encontrar a primitiva de $ \int x^{2} e^{-x} , dx $. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e escolher direitinho quais partes da função vão ser $ u $ e $ dv $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar $ u $ e $ dv $. A escolha certa facilita muito a resolução. Aqui, escolhemos:
  • $ u = x^{2} $ (porque ao derivar, a potência diminui, o que ajuda)
  • $ dv = e^{-x} , dx $

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
  • Derivada de $ u $: $ du = 2x , dx $
  • Integral de $ dv $: $ v = \int e^{-x} , dx = -e^{-x} $

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 e^-x , dx = x^2 (-e^-x) - integral (-e^-x) (2x) , dx
Simplificando:
-x^2 e^-x + 2 integral x e^-x , dx

Passo 5

Agora, temos outra integral para resolver: $ \int x e^{-x} , dx $. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Escolhemos:
  • $ u = x $
  • $ dv = e^{-x} , dx $

Passo 6

Derivando $ u $ e integrando $ dv $:
  • Derivada de $ u $: $ du = dx $
  • Integral de $ dv $: $ v = -e^{-x} $

Passo 7

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
integral x e^-x , dx = x (-e^-x) - integral (-e^-x) , dx
Simplificando:
-x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x

Passo 8

Voltando para a expressão que tínhamos no Passo 4:
-x^2 e^-x + 2 (-x e^-x - e^-x)
Distribuindo o 2:
-x^2 e^-x - 2x e^-x - 2 e^-x
Fatorando $ -e^{-x} $:
-e^-x

Resposta

A primitiva de $ \int x^{2} e^{-x} , dx $ é:
integral x^2 e^-x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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