Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(n)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Técnica de Integração por Partes. A gente precisa encontrar a primitiva de $ \int x^{2} e^{-x} , dx $. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e escolher direitinho quais partes da função vão ser $ u $ e $ dv $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar $ u $ e $ dv $. A escolha certa facilita muito a resolução. Aqui, escolhemos:
- $ u = x^{2} $ (porque ao derivar, a potência diminui, o que ajuda)
- $ dv = e^{-x} , dx $
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
- Derivada de $ u $: $ du = 2x , dx $
- Integral de $ dv $: $ v = \int e^{-x} , dx = -e^{-x} $
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos outra integral para resolver: $ \int x e^{-x} , dx $. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Escolhemos:
- $ u = x $
- $ dv = e^{-x} , dx $
Passo 6
Derivando $ u $ e integrando $ dv $:
- Derivada de $ u $: $ du = dx $
- Integral de $ dv $: $ v = -e^{-x} $
Passo 7
Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 8
Voltando para a expressão que tínhamos no Passo 4:
Distribuindo o 2:
Fatorando $ -e^{-x} $:
Resposta
A primitiva de $ \int x^{2} e^{-x} , dx $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.