Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(b) integral ln (raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ln (raizx) , dx. Para isso, vamos usar o método de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções e queremos integrar. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo. Sabemos que:
ln(raizx) = ln(x^1/2) = 12 ln(x)
Então, a integral fica:
integral ln (raizx) , dx = 12 integral ln(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos focar em resolver integral ln(x) , dx usando Integração por Partes. Para isso, escolhemos quais partes da expressão serão u e dv. Uma boa escolha é:
u = ln(x) e dv = dx

Passo 4

Com u = ln(x), precisamos calcular du:
du = 1x , dx
E com dv = dx, integramos para encontrar v:
v = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificamos a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x
Então, temos:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C

Passo 7

Lembrando que tínhamos um fator de 12 na integral original, substituímos de volta:
integral ln (raizx) , dx = 12 (x ln(x) - x) + C

Resposta

integral ln (raizx) , dx = x2 ln(x) - x2 + C

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