Use o fato de que o Teorema 12.2.6 é válido para uma seqüência crescente, para provar que o teorema também é valido quando an for uma seqüência decrescente. (Sugestão: considere a seqüência -an.)

Passo 1

O enunciado pede para estender o Teorema 12.2.6 — que afirma: “Toda sequência crescente e limitada acima converge para o seu supremo” — ao caso de sequência decrescente e limitada abaixo. Vamos usar a ideia de refletir a sequência via multiplicação por –1, pois isso inverte monotonicidade e limites.

Passo 2

Definimos a sequência auxiliar bn = -an. Se an é decrescente, então para todo n vale an+1 <= an. Multiplicando ambos os lados por –1 (e invertendo a desigualdade) obtemos
-,an+1 >= -,an,
o que mostra que bn é crescente.

Passo 3

Agora, como an é limitada abaixo, existe min R tal que an >= m para todo n. Logo
bn = -an <= -m, \nou seja, bn é limitada acima por -m.

Passo 4

Pelo Teorema 12.2.6, a sequência crescente e limitada acima bn converge. Denotemos
L = limntoinfty bn = supbn: nin N

Passo 5

Como an = -bn, pela propriedade de limites temos
limntoinfty an = -limntoinfty bn = -L
Mas, por definição de ínfimo e supremo,
infan = -sup-an = -L
Portanto, an converge para seu ínfimo, como queríamos provar.

Resposta

Concluímos que toda sequência decrescente e limitada abaixo converge para o seu ínfimo, estendendo o Teorema 12.2.6 ao caso decrescente.

Exercícios relacionados