Use o fato de que o Teorema 12.2.6 é válido para uma seqüência crescente, para provar que o teorema também é valido quando
for uma seqüência decrescente. (Sugestão: considere a seqüência
.)
Passo 1
O enunciado pede para estender o Teorema 12.2.6 — que afirma: “Toda sequência crescente e limitada acima converge para o seu supremo” — ao caso de sequência decrescente e limitada abaixo. Vamos usar a ideia de refletir a sequência via multiplicação por –1, pois isso inverte monotonicidade e limites.
Passo 2
Definimos a sequência auxiliar
. Se
é decrescente, então para todo
vale
. Multiplicando ambos os lados por –1 (e invertendo a desigualdade) obtemos
o que mostra que
é crescente.
Passo 3
Agora, como
é limitada abaixo, existe
tal que
para todo
. Logo
Passo 4
Pelo Teorema 12.2.6, a sequência crescente e limitada acima
converge. Denotemos
Passo 5
Como
, pela propriedade de limites temos
Mas, por definição de ínfimo e supremo,
Portanto,
converge para seu ínfimo, como queríamos provar.
Resposta
Concluímos que toda sequência decrescente e limitada abaixo converge para o seu ínfimo, estendendo o Teorema 12.2.6 ao caso decrescente.