Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
® integral e^-2 y sen(2 y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^-2 y sin(2 y) , dy usando a Técnica de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções e queremos encontrar a primitiva dessa multiplicação. Vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u e dv:
  • Escolha de u: Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Neste caso, u = e^-2y.
  • Escolha de dv: O restante da função será dv, então dv = sin(2y) , dy.
Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivada de u: du = ddy e^-2y , dy = -2 e^-2y , dy
  • Integral de dv: v = integral sin(2y) , dy = -12 cos(2y)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-2 y sin(2 y) , dy = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^-2 y sin(2 y) , dy = e^-2y (-12 cos(2y)) - integral (-12 cos(2y)) (-2 e^-2y) , dy

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
= -12 e^-2y cos(2y) - integral (12 times 2) e^-2y cos(2y) , dy
= -12 e^-2y cos(2y) - integral e^-2y cos(2y) , dy
Agora, vamos chamar essa nova integral de J:
J = integral e^-2y cos(2y) , dy

Passo 5

Agora, precisamos resolver J também usando integração por partes. Vamos escolher:
  • Escolha de u: u = e^-2y
  • Escolha de dv: dv = cos(2y) , dy
Encontrando du e v:
  • Derivada de u: du = -2 e^-2y , dy
  • Integral de dv: v = integral cos(2y) , dy = 12 sin(2y)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes para J:
J = u , v - integral v , du = e^-2y (12 sin(2y)) - integral (12 sin(2y)) (-2 e^-2y) , dy
Simplificando:
J = 12 e^-2y sin(2y) + integral e^-2y sin(2y) , dy
Observamos que a última integral é exatamente o nosso I:
J = 12 e^-2y sin(2y) + I

Passo 7

Agora, vamos substituir J de volta na nossa equação original:
I = -12 e^-2y cos(2y) - J
I = -12 e^-2y cos(2y) - ( 12 e^-2y sin(2y) + I )
Simplificando:
I = -12 e^-2y cos(2y) - 12 e^-2y sin(2y) - I
Levando todos os termos com I para um lado:
2I = -12 e^-2y ( cos(2y) + sin(2y) )
Dividindo ambos os lados por 2:
I = -14 e^-2y ( cos(2y) + sin(2y) ) + C

Resposta

integral e^-2 y sin(2 y) , dy = -e^-2y4 ( sin(2y) + cos(2y) ) + C

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