Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a Técnica de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções e queremos encontrar a primitiva dessa multiplicação. Vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
:
-
Escolha de
: Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Neste caso, . -
Escolha de
: O restante da função será , então .
Agora, precisamos encontrar
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agora, vamos chamar essa nova integral de
:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
também usando integração por partes. Vamos escolher:
-
Escolha de
: -
Escolha de
:
Encontrando
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes para
:
Simplificando:
Observamos que a última integral é exatamente o nosso
:
Passo 7
Agora, vamos substituir
de volta na nossa equação original:
Simplificando:
Levando todos os termos com
para um lado:
Dividindo ambos os lados por 2: