Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a monotonicidade da sequência definida por an = dfracn!1cdot3cdot5cdots(2n-1). O conteúdo aqui é sequência numérica e uso do critério de razão entre termos consecutivos para verificar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos: an+1an = (n+1)!1cdot3cdotcdots(2n-1)cdot(2(n+1)-1)n!1cdot3cdotcdots(2n-1)

Passo 3

Simplificando a expressão acima, observe que (n+1)!/n! = n+1 e o produto 1cdot3cdots(2n-1) se cancela, sobrando: an+1an = n+12n+1

Passo 4

Para ver se a sequência é crescente ou decrescente, comparamos essa razão com 1. Temos n+12n+1 < 1 exatamente quando n+1 < 2n+1, isto é, 1 < n. Como estamos olhando para n>=1, a desigualdade vale para todo n>=1. Então an+1 < an para todo n>=1.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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