Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(h) integral theta tan ^2(theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral theta tan^2(theta) , dtheta usando a Técnica de Integração por Partes. Para isso, precisamos entender o que é integração por partes: é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, vamos identificar qual parte da nossa integral será u e qual será dv.

Passo 2

Primeiro, escolhemos u e dv. Uma boa escolha é:
u = theta e dv = tan^2(theta) , dtheta
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculamos du derivando u:
du = dtheta
Agora, para encontrar v, integramos dv:
v = integral tan^2(theta) , dtheta
Sabemos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1, então:
v = integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = tan(theta) - theta

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo u, v, e du:
integral theta tan^2(theta) , dtheta = theta (tan(theta) - theta) - integral (tan(theta) - theta) , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= theta tan(theta) - theta^2 - integral tan(theta) , dtheta + integral theta , dtheta
Sabemos que integral tan(theta) , dtheta = -ln|cos(theta)| e integral theta , dtheta = theta^22, então:
= theta tan(theta) - theta^2 - (-ln|cos(theta)|) + theta^22

Passo 6

Simplificando mais, combinamos os termos semelhantes:
= theta tan(theta) - theta^2 + ln|cos(theta)| + theta^22
= theta tan(theta) - theta^22 + ln|cos(theta)|

Resposta

A primitiva de integral theta tan^2(theta) , dtheta é:
theta tan(theta) - theta^22 + ln|cos(theta)| + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados