Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(o) integral e^y sen(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral e^y sin(y) , dy. Aqui, estamos trabalhando com integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vão representar u e dv na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv.

Passo 3

Vamos definir:
  • u = e^y (porque a derivada de e^y é simples)
  • dv = sin(y) , dy
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddy e^y , dy = e^y , dy
E para encontrar v, integramos dv:
v = integral sin(y) , dy = -cos(y)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^y sin(y) , dy = u cdot v - integral v , du = e^y cdot (-cos(y)) - integral (-cos(y)) cdot e^y , dy
Simplificando, temos:
- e^y cos(y) + integral e^y cos(y) , dy

Passo 6

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^y cos(y) , dy. Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com:
  • u = e^y
  • dv = cos(y) , dy
Calculando du e v:
du = e^y , dy
v = integral cos(y) , dy = sin(y)

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^y cos(y) , dy = e^y cdot sin(y) - integral sin(y) cdot e^y , dy
Ou seja:
e^y sin(y) - integral e^y sin(y) , dy

Passo 8

Voltando à nossa equação anterior:
- e^y cos(y) + integral e^y cos(y) , dy = - e^y cos(y) + e^y sin(y) - integral e^y sin(y) , dy
Observamos que a integral integral e^y sin(y) , dy aparece dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de I:
I = - e^y cos(y) + e^y sin(y) - I

Passo 9

Agora, somamos I dos dois lados:
I + I = - e^y cos(y) + e^y sin(y)
2I = e^y (sin(y) - cos(y))

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 2:
I = e^y2 (sin(y) - cos(y)) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A primitiva de integral e^y sin(y) , dy é:
e^y2 ( sin(y) - cos(y) ) + C

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