Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos trabalhando com integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vão representar
e
na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Isso significa que precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 3
Vamos definir:
-
(porque a derivada de é simples) -
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
E para encontrar
, integramos
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com:
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula novamente:
Ou seja:
Passo 8
Voltando à nossa equação anterior:
Observamos que a integral
aparece dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Passo 9
Agora, somamos
dos dois lados:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A primitiva de
é: