Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an=n^nn! é crescente, decrescente ou não-monótona. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências e vamos usar o teste da razão para verificar se an+1>an ou an+1.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, consideramos o quociente an+1an. Se for maior que 1 para todo n, a sequência é crescente; se for menor que 1, é decrescente; caso mude de sinal, é não-monótona.

Passo 3

Escrevendo o quociente, temos:
an+1an=(n+1)^n+1(n+1)!n^nn!

Passo 4

Agora simplificamos usando (n+1)!=(n+1),n! e cancelando n!:
an+1an=(n+1)^n+1(n+1),n^n=(n+1)^nn^n=l(1+1nr)^n

Passo 5

Sabemos que para todo n>=1 vale l(1+1nr)^n>1 (essa é uma sequência crescente que tende a eapprox2,718). Logo an+1/an>1 para todo n, o que implica an+1>an.

Passo 6

Portanto, a sequência an=n^nn! é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é crescente.

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