Nos Exercicios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou ndo-monótona.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2^n cdot n !

Passo 1

O enunciado pede para classificar a monotonicidade da sequência an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!. Vamos usar o teste da razão, que diz: se an+1an<1 para todo n, então a sequência é estritamente decrescente.

Passo 2

Observamos que ao passar de an para an+1 o numerador ganha o fator (2n+1) e o denominador ganha 2(n+1). Logo,
an+1an=1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2^n+1(n+1)!;/;1cdot3cdots(2n-1)2^n,n!=2n+12(n+1)

Passo 3

Como para todo n>=1 temos
2n+1<2n+2Longrightarrow2n+12(n+1)<1,

Passo 4

concluímos pelo teste da razão que an+1 para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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