Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é convergente, usando o Teorema 12.2.6.
n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência an = n^22^n é convergente, usando o Teorema 12.2.6 (que é o critério da razão para sequências, dizendo que se L = limntoinfty |an+1/an| < 1 então an to 0).

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema 12.2.6 calculando a razão entre termos sucessivos:
Escrevendo a razão temos
an+1an= (n+1)^22^n+1n^22^n= (n+1)^2n^2 cdot 2^n2^n+1= l(1 + 1nr)^2 cdot 12

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n to infty:
limntoinfty an+1an= limntoinfty l(1 + 1nr)^2 cdot 12= 1^2 cdot 12= 12

Passo 4

Como o limite da razão é tfrac12 < 1, pelo Teorema 12.2.6 concluímos que an é convergente e, mais precisamente,
o teorema garante que an to 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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