Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é convergente, usando o Teorema 12.2.6.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a sequência
é convergente, usando o Teorema 12.2.6 (que é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas). Vamos precisar mostrar que
é decrescente e limitada inferiormente.
Passo 2
Primeiro, note que cada fator em
é positivo. Logo, para todo
,
Isto significa que
é limitada inferiormente por 0.
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é decrescente. Calcule a razão entre termos consecutivos:
Como para todo
vale
, temos
Logo
e a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Tendo mostrado que
é decrescente e limitada inferiormente, podemos aplicar o Teorema 12.2.6 (Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas), que afirma que toda sequência monótona e limitada é convergente. Portanto,
converge.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente e limitada inferiormente, logo converge pelo Teorema 12.2.6.