Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é convergente, usando o Teorema 12.2.6.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
é convergente, usando o Teorema 12.2.6 (que é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas). Vamos precisar mostrar que an é decrescente e limitada inferiormente.

Passo 2

Primeiro, note que cada fator em an é positivo. Logo, para todo n,
an>0
Isto significa que an é limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Agora vamos mostrar que an é decrescente. Calcule a razão entre termos consecutivos:
an+1an =1cdot3cdots(2n-1)cdot(2n+1)2cdot4cdots(2n)cdot(2n+2) g/1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n) =2n+12n+2
Como para todo n>=1 vale 2n+1<2n+2, temos
an+1an<1
Logo an+1 e a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Tendo mostrado que an é decrescente e limitada inferiormente, podemos aplicar o Teorema 12.2.6 (Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas), que afirma que toda sequência monótona e limitada é convergente. Portanto, an converge.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente e limitada inferiormente, logo converge pelo Teorema 12.2.6.

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