Nos Exercicios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou ndo-monótona.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2^n cdot n!

Passo 1

Estamos analisando a sequência dada por an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!. O conteúdo é monotonicidade de sequência e vamos usar o teste da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro escrevemos o termo seguinte an+1. Sabendo que an+1=1cdot3cdot5cdots(2n-1),(2n+1)2^n+1,(n+1)!, vemos que ele difere de an apenas pelo fator extra (2n+1) no numerador e pelos fatores 2 e (n+1) no denominador.

Passo 3

Agora calculamos a razão entre termos consecutivos para verificar monotonicidade:
an+1an =1cdot3cdotcdots(2n-1)(2n+1)2^n+1(n+1)!1cdot3cdotcdots(2n-1)2^n,n! =2n+12,(n+1) =2n+12n+2

Passo 4

Para todo n>=1, tem-se 2n+1<2n+2, logo an+1an<1. Se a razão entre termos consecutivos é sempre menor que 1, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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