Determine se a integral impropria dada converge ou diverge.
integral0^5 1raiz[3]5-x d x
Apresente cada etapa da resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
integral0^5 1raiz[3]5-x , dx
Vou te ajudar a entender cada passo. Primeiro, reconhecemos que estamos lidando com uma integral imprópria porque o denominador raiz[3]5-x se aproxima de zero quando x se aproxima de 5, o que pode causar problemas na integral. Para resolver, precisamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Vamos reescrever a integral de uma forma mais simples usando potências. Sabemos que raiz[3]5-x é o mesmo que (5-x)^1/3. Então, a integral fica:
integral0^5 1(5-x)^1/3 , dx
Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo com o denominador.

Passo 3

Como a função tem um comportamento problemático em x = 5, vamos transformar a integral imprópria em um limite. Isso significa que vamos calcular:
limb to 5^- integral0^b 1(5-x)^1/3 , dx
Aqui, b se aproxima de 5 pela esquerda, evitando o ponto problemático inicialmente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma antiderivada para a função 1(5-x)^1/3. Para isso, fazemos uma substituição simples:
u = 5 - x Rightarrow du = -dx Rightarrow dx = -du
Substituindo na integral:
integral 1u^1/3 , (-du) = -integral u^-1/3 , du
Integrando u^-1/3:
- cdot u^2/323 + C = - cdot 32 u^2/3 + C = -32 (5 - x)^2/3 + C

Passo 5

Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de integração de 0 até b:
-32 (5 - b)^2/3 + 32 (5 - 0)^2/3
Simplificando:
32 ( (5)^2/3 - (5 - b)^2/3 )

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando b se aproxima de 5:
limb to 5^- 32 ( 5^2/3 - (5 - b)^2/3 ) = 32 ( 5^2/3 - 0 ) = 32 cdot 5^2/3
Como o resultado é um número finito, isso significa que a integral converge.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 32 cdot 5^2/3.

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