Determine se a integral impropria dada converge ou diverge.
Apresente cada etapa da resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
Vou te ajudar a entender cada passo. Primeiro, reconhecemos que estamos lidando com uma integral imprópria porque o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de 5, o que pode causar problemas na integral. Para resolver, precisamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Vamos reescrever a integral de uma forma mais simples usando potências. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo com o denominador.
Passo 3
Como a função tem um comportamento problemático em
, vamos transformar a integral imprópria em um limite. Isso significa que vamos calcular:
Aqui,
se aproxima de 5 pela esquerda, evitando o ponto problemático inicialmente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma antiderivada para a função
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 5
Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de integração de 0 até
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 5:
Como o resultado é um número finito, isso significa que a integral converge.
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é
.