Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
4 x y^prime prime+2 y^prime+y=0, y1(x)=sin raizx

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de 2ª ordem não–autônoma 4x,y''+2y'+y=0 e nos diz que uma solução é y1(x)=sinraizx. O que queremos é encontrar outra solução linearmente independente, formando assim um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos usar a mudança de variável t=raizx (ou redução de ordem).

Passo 2

Definimos t=raizx e escrevemos u(t)=y(x) com x=t^2. Calculamos as derivadas em relação a x:
Aplica-se a regra da cadeia para obter
y'=du/dt2t, y''=u''4t^2-u'4t^3

Passo 3

Substituímos essas expressões em 4x,y''+2y'+y=0 (lembrando que x=t^2) e vemos que os termos em u'/t se cancelam, resultando em
u''+u=0

Passo 4

Essa é a equação do oscilador harmônico simples. Sua solução geral é
u(t)=Acos t+Bsin t

Passo 5

Voltando à variável x, como t=raizx, obtemos
y(x)=Acosraizx+Bsinraizx

Passo 6

Logo, um conjunto fundamental de soluções é formado pelas funções sinraizx e cosraizx, que são linearmente independentes.

Resposta

sinraizx,,cosraizx

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