Nos seguintes exercícios, dada a solução
da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de 2ª ordem não–autônoma
e nos diz que uma solução é
. O que queremos é encontrar outra solução linearmente independente, formando assim um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos usar a mudança de variável
(ou redução de ordem).
Passo 2
Definimos
e escrevemos
com
. Calculamos as derivadas em relação a
:
Aplica-se a regra da cadeia para obter
Aplica-se a regra da cadeia para obter
Passo 3
Substituímos essas expressões em
(lembrando que
) e vemos que os termos em
se cancelam, resultando em
Passo 4
Essa é a equação do oscilador harmônico simples. Sua solução geral é
Passo 5
Voltando à variável
, como
, obtemos
Passo 6
Logo, um conjunto fundamental de soluções é formado pelas funções
e
, que são linearmente independentes.