Parametrização de um elipsoide A parametrização x= a \cos \theta, y=b \operatorname{sen} \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi fornece a elipse \left(x^{2} / a^{2}\right)+ \left(y^{2} / b^{2}\right)=1. Utilizando os ângulos \theta e \varphi em coordenadas esféricas, mostre que
\mathbf{r}(\theta, \varphi)=(a \cos \theta \cos \varphi) \mathbf{i}+(b \operatorname{sen} \theta \cos \varphi) \mathbf{j}+(c \operatorname{sen} \varphi) \mathbf{k}
é uma parametrização do elipsoide \left(x^{2} / a^{2}\right)+\left(y^{2} / b^{2}\right)+ \left(z^{2} / c^{2}\right)=1.
Parametrização de um elipsoide A parametrização x= a \cos \theta, y=b \operatorname{sen} \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi fornece a elipse \left(x^{2} / a^{2}\right)+ \left(y^{2} / b^{2}\right)=1. Utilizando os ângulos \theta e \varphi em coordenadas esféricas, mostre que
\mathbf{r}(\theta, \varphi)=(a \cos \theta \cos \varphi) \mathbf{i}+(b \operatorname{sen} \theta \cos \varphi) \mathbf{j}+(c \operatorname{sen} \varphi) \mathbf{k}
é uma parametrização do elipsoide \left(x^{2} / a^{2}\right)+\left(y^{2} / b^{2}\right)+ \left(z^{2} / c^{2}\right)=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a aplicação
\mathbf{r}(\theta,\varphi) = \bigl(a\cos\theta\cos\varphi\bigr)\,\mathbf{i} \;+\;\bigl(b\sin\theta\cos\varphi\bigr)\,\mathbf{j}\;+\;\bigl(c\sin\varphi\bigr)\,\mathbf{k}
para \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2] (ou \varphi\in[0,\pi], conforme convenção) realmente gera todos os pontos (x,y,z) tais que
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.
O conteúdo necessário é apenas substituir as componentes de \mathbf{r} na equação do elipsoide e simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Identifiquemos as componentes x,y,z em função de \theta e \varphi:
x = a\cos\theta\cos\varphi, \quad y = b\sin\theta\cos\varphi, \quad z = c\sin\varphi.

Passo 3

Formemos a soma dos quadrados escalonados:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = \frac{(a\cos\theta\cos\varphi)^2}{a^2} + \frac{(b\sin\theta\cos\varphi)^2}{b^2} + \frac{(c\sin\varphi)^2}{c^2}.

Passo 4

Simplificando cada termo:
\frac{(a\cos\theta\cos\varphi)^2}{a^2} = \cos^2\theta\,\cos^2\varphi, \quad \frac{(b\sin\theta\cos\varphi)^2}{b^2} = \sin^2\theta\,\cos^2\varphi, \quad \frac{(c\sin\varphi)^2}{c^2} = \sin^2\varphi.
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\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = \underbrace{\bigl(\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr)}_{=1}\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.

Resposta

A expressão fica exatamente igual a 1 para todos os \theta e \varphi, o que mostra que \mathbf{r}(\theta,\varphi) é uma parametrização do elipsoide
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.

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