Questão 7 A densidade de um sólido esférico de raio R cai com o quadrado da distância r ao centro do objeto, \rho(r)=\gamma / r^{2}. Determine a massa do objeto.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de um sólido esférico em função da distância ao centro e pede a massa total do sólido. Informações fornecidas:
  • A densidade é \rho(r)=\dfrac{\gamma}{r^{2}}, válida para 0\le r\le R.
  • O sólido é uma esfera de raio R.
    O que se pede: calcular a massa total M do sólido.

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar). A massa de um corpo contínuo é a integral da densidade sobre o volume do corpo:
M=\int_{V}\rho(\mathbf{x})\,dV.
Aqui \rho(\mathbf{x}) é a densidade no ponto \mathbf{x} e dV é o elemento de volume. Como a densidade depende apenas de r (distância ao centro), podemos usar coordenadas esféricas com simetria radial para simplificar a integral.

Passo 3

Elemento de volume adequado à simetria radial. Para uma função que depende só de r, é conveniente pensar em cascas esféricas: a casca entre r e r+dr tem área superficial 4\pi r^{2} e espessura dr, logo o volume dessa casca é
dV = 4\pi r^{2}\,dr.
Explicação curta e concreta: a superfície de uma esfera de raio r vale 4\pi r^{2}; multiplicando pela espessura dr obtemos o volume aproximado da camada fina.

Passo 4

Montando a integral para a massa usando dV=4\pi r^{2}\,dr. Assim
M=\int_{V}\rho\,dV=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Agora substituímos \rho(r)=\dfrac{\gamma}{r^{2}}:
M=\int_{0}^{R}\frac{\gamma}{r^{2}}\;4\pi r^{2}\,dr.

Passo 5

Simplificação do integrando e cálculo da integral. Note que os fatores r^{2} se cancelam:
\frac{\gamma}{r^{2}}\;4\pi r^{2}=4\pi\gamma.
Portanto a integral fica muito simples:
M=\int_{0}^{R}4\pi\gamma\,dr.
Integrando uma constante em r:
M=4\pi\gamma\left[r\right]_{0}^{R}=4\pi\gamma R.

Passo 6

Comentário sobre a singularidade em r=0. A densidade formalmente diverge quando r\to 0 (pois \rho\sim 1/r^{2}), mas isso não impede que a massa seja finita: no integrando a dependência em r cancela e obtemos um integrando constante. Em geral, para uma densidade radial que se comporta como r^{-\alpha} perto de zero, a massa é integrável se \alpha<3; aqui \alpha=2, então está tudo bem. O valor da densidade exatamente no ponto r=0 (um ponto isolado) não altera a integral.

Passo 7

Interpretação final e unidade. A massa é proporcional ao raio R e à constante \gamma. Em unidades, se \gamma tem unidades de massa por comprimento (por exemplo \mathrm{kg\,m^{-1}}), então M terá unidades de massa ( \mathrm{kg}), como esperado.

Resposta

M=4\pi\gamma R

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