Questão 7 A densidade de um sólido esférico de raio
cai com o quadrado da distância
ao centro do objeto,
. Determine a massa do objeto.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de um sólido esférico em função da distância ao centro e pede a massa total do sólido. Informações fornecidas:
- A densidade é
, válida para . - O sólido é uma esfera de raio
.
O que se pede: calcular a massa totaldo sólido.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar). A massa de um corpo contínuo é a integral da densidade sobre o volume do corpo:
Aqui
é a densidade no ponto
e
é o elemento de volume. Como a densidade depende apenas de
(distância ao centro), podemos usar coordenadas esféricas com simetria radial para simplificar a integral.
Passo 3
Elemento de volume adequado à simetria radial. Para uma função que depende só de
, é conveniente pensar em cascas esféricas: a casca entre
e
tem área superficial
e espessura
, logo o volume dessa casca é
Explicação curta e concreta: a superfície de uma esfera de raio
vale
; multiplicando pela espessura
obtemos o volume aproximado da camada fina.
Passo 4
Montando a integral para a massa usando
. Assim
Agora substituímos
:
Passo 5
Simplificação do integrando e cálculo da integral. Note que os fatores
se cancelam:
Portanto a integral fica muito simples:
Integrando uma constante em
:
Passo 6
Comentário sobre a singularidade em
. A densidade formalmente diverge quando
(pois
), mas isso não impede que a massa seja finita: no integrando a dependência em
cancela e obtemos um integrando constante. Em geral, para uma densidade radial que se comporta como
perto de zero, a massa é integrável se
; aqui
, então está tudo bem. O valor da densidade exatamente no ponto
(um ponto isolado) não altera a integral.
Passo 7
Interpretação final e unidade. A massa é proporcional ao raio
e à constante
. Em unidades, se
tem unidades de massa por comprimento (por exemplo
), então
terá unidades de massa (
), como esperado.