Questão 8 A corrente elétrica I(t) em um circuito R C satisfaz a equação R \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} I(t)=0, onde as constantes R e C são respectivamente a resistência e a capacitância do circuito. Determine I(t) neste tipo de circuito.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I(t)=0,
onde R e C são constantes (resistência e capacitância). A variável dependente é I(t), a corrente em função do tempo t. A pergunta é: determinar I(t) para esse circuito (isto é, obter a solução geral da equação diferencial). Não foi fornecida uma condição inicial numérica, então devemos apresentar a solução geral com a constante de integração (e indicar como usar uma condição inicial se houver).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem dividindo por R (assumindo R\neq0):
\frac{dI}{dt}+\frac{1}{RC}I(t)=0.
Aqui cada termo está claro: \frac{dI}{dt} é a derivada da corrente em relação ao tempo, e \frac{1}{RC} é uma constante positiva (se R>0 e C>0).

Passo 3

Escolher um método simples: separação de variáveis (é um caso bem direto porque a equação é linear homogênea com coeficientes constantes). Tratar dI e dt como diferenciais e reorganizar os termos para separar I e t:
\frac{dI}{I} = -\frac{1}{RC}\,dt,
válido sempre que I(t)\neq0; a integração vai contemplar o caso I\equiv0 também.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Lembrando que \int \frac{dI}{I}=\ln|I|+C_1 e \int -\frac{1}{RC}\,dt=-\frac{t}{RC}+C_2. Juntando constantes:
\ln|I| = -\frac{t}{RC}+K,
onde K é a constante de integração (igual a C_2-C_1). Explicando: a função logaritmo natural aparece porque integramos 1/I; o valor absoluto aparece porque o logaritmo de número negativo não é definido no real, mas a exponenciação logo tratará o sinal.

Passo 5

Exponenciar para isolar I. Aplicando exponencial em ambos os lados:
|I| = e^{K}e^{-t/(RC)}.
Escrever A=e^{K} com sinal (ou seja, permitir A real, negativo ou positivo) para remover o valor absoluto: a solução geral é
I(t)=A\,e^{-t/(RC)},
onde A é uma constante real arbitrária determinada pela condição inicial. Explicando A: se for fornecido o valor inicial da corrente \,I(0)=I_0, então substitui-se t=0 na solução e obtém-se A=I_0. Portanto a solução com condição inicial é
I(t)=I_0\,e^{-t/(RC)}.

Passo 6

Interpretar e verificar. Definindo a constante de tempo \tau=RC (dimensão de tempo), a solução fica
I(t)=I_0\,e^{-t/\tau}.
Isto significa que a corrente decai exponencialmente com tempo característico \tau: após t=\tau a corrente vale I(\tau)=I_0 e^{-1}\approx0{,}37\,I_0. Para checar que a solução satisfaz a equação original, calcular \frac{dI}{dt}=-\frac{A}{RC}e^{-t/(RC)} e substituir em R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I para ver que o soma é zero.

Passo 7

Resumo prático para a prova: ao ver uma equação R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I=0 reconheça que é uma primeira ordem com coeficientes constantes; faça \frac{dI}{I}=-\frac{1}{RC}dt, integre, exponencie e use a condição inicial para encontrar a constante. A habilidade principal aqui é dominar separação de variáveis e manipulação de logaritmos/exponenciais. Acredite: com esse passo a passo você resolve rápido na prova.

Resposta

I(t)=I(0)\,e^{-t/(RC)}

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