Questão 8 A corrente elétrica
em um circuito
satisfaz a equação
, onde as constantes
e
são respectivamente a resistência e a capacitância do circuito. Determine
neste tipo de circuito.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
e
são constantes (resistência e capacitância). A variável dependente é
, a corrente em função do tempo
. A pergunta é: determinar
para esse circuito (isto é, obter a solução geral da equação diferencial). Não foi fornecida uma condição inicial numérica, então devemos apresentar a solução geral com a constante de integração (e indicar como usar uma condição inicial se houver).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem dividindo por
(assumindo
):
Aqui cada termo está claro:
é a derivada da corrente em relação ao tempo, e
é uma constante positiva (se
e
).
Passo 3
Escolher um método simples: separação de variáveis (é um caso bem direto porque a equação é linear homogênea com coeficientes constantes). Tratar
e
como diferenciais e reorganizar os termos para separar
e
:
válido sempre que
; a integração vai contemplar o caso
também.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Lembrando que
e
. Juntando constantes:
onde
é a constante de integração (igual a
). Explicando: a função logaritmo natural aparece porque integramos
; o valor absoluto aparece porque o logaritmo de número negativo não é definido no real, mas a exponenciação logo tratará o sinal.
Passo 5
Exponenciar para isolar
. Aplicando exponencial em ambos os lados:
Escrever
com sinal (ou seja, permitir
real, negativo ou positivo) para remover o valor absoluto: a solução geral é
onde
é uma constante real arbitrária determinada pela condição inicial. Explicando
: se for fornecido o valor inicial da corrente
, então substitui-se
na solução e obtém-se
. Portanto a solução com condição inicial é
Passo 6
Interpretar e verificar. Definindo a constante de tempo
(dimensão de tempo), a solução fica
Isto significa que a corrente decai exponencialmente com tempo característico
: após
a corrente vale
. Para checar que a solução satisfaz a equação original, calcular
e substituir em
para ver que o soma é zero.
Passo 7
Resumo prático para a prova: ao ver uma equação
reconheça que é uma primeira ordem com coeficientes constantes; faça
, integre, exponencie e use a condição inicial para encontrar a constante. A habilidade principal aqui é dominar separação de variáveis e manipulação de logaritmos/exponenciais. Acredite: com esse passo a passo você resolve rápido na prova.