Responda as perguntas sobre o PVI:
l x y^prime+y=0 y(x0)=y0
Para que valores de x0 e y0 o problema:
Terá solução ?

Passo 1

Neste problema temos o PVI
x,y'+y=0, y(x0)=y0
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos reescrever em forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação por x (supondo xneq0) para obter
y'+1x,y=0

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral1x,dxr)=x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x), ficando
x,y'+y=0 Longrightarrow (x,y)'=0

Passo 5

Integramos ambos os lados:
(x,y)=C
Logo a solução geral é
y=Cx

Passo 6

Impondo a condição inicial y(x0)=y0, temos
y0=Cx0Longrightarrow C=x0,y0
Logo
y(x)=x0,y0x

Passo 7

Para que o teorema de existência e unicidade valha, os coeficientes em
y'+tfrac1x,y=0 devem ser contínuos numa vizinhança de x0. Como tfrac1x é descontínua em x=0, precisamos de x0neq0.

Resposta

O PVI tem solução única para qualquer valor real de y0, desde que x0neq0.

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