A corrente I(t) num circuito elétrico é dada pela equação diferencial
L d Id t+R I=E(t)
Encontre uma expressão para a corrente onde a resistência é 12 Omega, a indutância(L) é 4 H, a pilha fornece uma voltagem( E(t)) constante de 60 V e o interruptor é ligado quando t=0.

Passo 1

O enunciado diz que a corrente num circuito RL satisfaz a equação diferencial de primeira ordem L,dIdt + R,I = E(t), com L=4,H, R=12,Omega e E(t)=60,V constante, e que o interruptor fecha em t=0 (logo I(0)=0). Vamos usar o método padrão para equações lineares de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, reescrevo a equação no formato padrão dividindo tudo por L:
dIdt + RLI = E(t)L
Substituindo L=4 e R=12 obtemos:
dIdt + 3I = 15

Passo 3

Em seguida, resolvo a equação homogênea associada:
dIhdt + 3Ih = 0
A solução geral da homogênea é Ih(t) = C e^-3t, onde C é constante.

Passo 4

Agora, encontro uma solução particular. Como o termo independente é constante (15), assumo Ip = A constante. Substituindo na equação:
0 + 3A = 15 implies A = 5
Logo a solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
I(t) = Ih(t) + Ip = C e^-3t + 5

Passo 5

Por fim, uso a condição inicial I(0)=0 (circuito sem corrente antes de fechar o interruptor) para achar C:
I(0) = C + 5 = 0 implies C = -5
Portanto, a solução que descreve a corrente para t>=0 é:
I(t) = 5l(1 - e^-3tr)

Resposta

I(t)=5l(1 - e^-3tr) A

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