Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).
y^{\prime}=\frac{e^{x}}{y}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y' = \frac{e^{x}}{y}, com y(0)=1.
O conteúdo aqui é EDO separável, então vamos usar a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}}{y}
e separamos variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int y\,dy = \int e^{x}\,dx.
Isso dá
\frac{y^{2}}{2} = e^{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e definindo C' = 2C, obtemos
y^{2} = 2\,e^{x} + C'.
Para achar C' usamos a condição inicial y(0)=1:
1^{2} = 2\,e^{0} + C'\;\;\Longrightarrow\;\;1 = 2 + C'\;\;\Longrightarrow\;\;C' = -1.
Logo
y^{2} = 2\,e^{x} - 1.

Passo 5

Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada. Assim, a solução é
y(x) = \sqrt{2\,e^{x} - 1}.
O domínio de validade local em torno de x=0 exige 2\,e^{x}-1\ge0, ou seja x\ge -\ln2.

Resposta

y(x) = \sqrt{2\,e^{x} - 1}.

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