A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano
onde é possível garantir que esta equação possui soluções únicas.
(b) Determine a solução geral da equação
(b) Determine a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com
constantes e
.
(a) Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) que exige que e
sejam contínuas num retângulo em
.
(b) Para encontrar a solução geral, vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.
(a) Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) que exige que
(b) Para encontrar a solução geral, vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Analisando
vemos que ela é bem-definida e contínua sempre que
pois em
o termo
anula
mas
fica singular. Logo, em qualquer domínio compacto contido em
Passo 3
Assumindo
, separamos variáveis:
Agora basta integrar cada lado em termos de
e
.
Passo 4
Calculemos as integrais:
À esquerda,
À esquerda,
À direita, faça
, então
e
Portanto a combinação dá
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolando
:
Chamando
, a solução geral é
Caso
, a equação vira
e a solução é
Resposta
(a) Uma região onde
e
são contínuas é qualquer subconjunto compacto de
Lá garantimos existência e unicidade para dados iniciais
com
,
.
(b) Para ,
(b) Para
e, se
,