A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
\frac{d x}{d t}=\frac{a x^{5 / 6}}{(b-B t)^{3 / 2}}, \quad a, b, B \geq 0 \quad \text { constantes reais } \quad \text { e } \quad x=x(t)
(a) Determine a região do plano t x onde é possível garantir que esta equação possui soluções únicas.
(b) Determine a solução geral da equação

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dx}{dt} = \frac{a\,x^{5/6}}{(b - B\,t)^{3/2}},
com a,b,B\ge0 constantes e x=x(t).
(a) Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) que exige que f(t,x)=a\,x^{5/6}(b-Bt)^{-3/2} e \partial f/\partial x sejam contínuas num retângulo em (t,x).
(b) Para encontrar a solução geral, vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Analisando
f(t,x)=\frac{a\,x^{5/6}}{(b-Bt)^{3/2}},
vemos que ela é bem-definida e contínua sempre que
b - B\,t > 0 \quad\text{e}\quad x>0,
pois em x=0 o termo x^{5/6} anula f mas \partial f/\partial x\propto x^{-1/6} fica singular. Logo, em qualquer domínio compacto contido em
\{(t,x)\mid t< b/B,\;x>0\} f e \partial f/\partial x são contínuas, garantindo existência e unicidade de solução para condições iniciais (t_0,x_0) com t_0<b/B e x_0>0.

Passo 3

Assumindo B>0, separamos variáveis:
\frac{dx}{x^{5/6}} = a\;\frac{dt}{(b-Bt)^{3/2}}.
Agora basta integrar cada lado em termos de x e t.

Passo 4

Calculemos as integrais:
À esquerda,
\int x^{-5/6}\,dx = \frac{x^{1/6}}{\tfrac{1}{6}} = 6\,x^{1/6}.
À direita, faça u=b-Bt, então du=-B\,dt e
\int \frac{a}{(b-Bt)^{3/2}}\,dt = \int \frac{a}{u^{3/2}}\Bigl(-\frac{du}{B}\Bigr) = -\frac{a}{B}\int u^{-3/2}\,du = -\frac{a}{B}\Bigl(\!-2u^{-1/2}\Bigr) = \frac{2a}{B}\,u^{-1/2}.
Portanto a combinação dá
6\,x^{1/6} = \frac{2a}{B}\,(b-Bt)^{-1/2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando x:
x^{1/6} = \frac{1}{6}\,C + \frac{a}{3B}\,(b-Bt)^{-1/2}.
Chamando C_1=C/6, a solução geral é
x(t) = \Bigl[ C_1 + \frac{a}{3B}\,(b-Bt)^{-1/2} \Bigr]^{6}.
Caso B=0, a equação vira \tfrac{dx}{dt}=(a/b^{3/2})\,x^{5/6} e a solução é
6\,x^{1/6}=\frac{a}{b^{3/2}}\,t+C \quad\Longrightarrow\quad x(t) = \Bigl[\frac{a}{6\,b^{3/2}}\,t + C_2\Bigr]^{6}.

Resposta

(a) Uma região onde f e \partial f/\partial x são contínuas é qualquer subconjunto compacto de
\{(t,x)\mid t< b/B,\;x>0\}.
Lá garantimos existência e unicidade para dados iniciais (t_0,x_0) com t_0<b/B, x_0>0.
(b) Para B>0,
x(t) = \Bigl[ C_1 + \frac{a}{3B}\,(b-Bt)^{-1/2} \Bigr]^{6},
e, se B=0,
x(t) = \Bigl[\frac{a}{6\,b^{3/2}}\,t + C_2\Bigr]^{6}.

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