Volterra fez um modelo matemático para descrever a competição entre duas espécies x e y que habitam um meio ambiente dado, obtendo equações da forma:
\begin{aligned} & \dot{x}=x \times\left(a_{1}+a_{2} y\right) \\\ & \dot{y}=y \times\left(b_{1}+b_{2} x\right) \end{aligned} \text { onde } a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb{R} \text { são constantes, }ã
y(t):=y(x(t)) e t é a variável tempo.
Usando a regra da cadeia \frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t} e as duas equações acima, se obtém \frac{d y}{d x}=\frac{y \times\left(b_{1}+b_{2} x\right)}{x \times\left(a_{1}+a_{2} y\right)}. Determine a solução geral desta equação.

Passo 1

O enunciado nos leva à equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{y\,(b_{1}+b_{2}x)}{x\,(a_{1}+a_{2}y)}
que é um caso clássico de equação com variáveis separáveis. Para resolvê-la, vamos isolar os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro.

Passo 2

Multiplicando em cruz para separar variáveis, obtemos
\frac{a_{1}+a_{2}y}{y}\,dy \;=\;\frac{b_{1}+b_{2}x}{x}\,dx
onde agora todos os y e dy estão à esquerda e todos os x e dx estão à direita.

Passo 3

Integramos ambos os lados, lembrando que \displaystyle \int\frac{1}{y}\,dy=\ln y e \displaystyle \int 1\,dy=y, e de modo análogo para x:
\int\!\Bigl(\tfrac{a_{1}}{y}+a_{2}\Bigr)\,dy \;=\; \int\!\Bigl(\tfrac{b_{1}}{x}+b_{2}\Bigr)\,dx
Realizando as integrais, vem
a_{1}\ln y \;+\;a_{2}\,y \;=\; b_{1}\ln x \;+\;b_{2}\,x \;+\;C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reorganizando para a forma implícita padrão, temos
a_{1}\ln y - b_{1}\ln x \;+\;a_{2}y - b_{2}x \;=\; C
ou, equivalentemente, exponenciando ambos os lados,
y^{a_{1}}\,e^{a_{2}y} = K\,x^{b_{1}}\,e^{b_{2}x},
com K=e^{C} uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
a_{1}\ln y + a_{2}y = b_{1}\ln x + b_{2}x + C
ou, de forma equivalente,
y^{a_{1}}\,e^{a_{2}y} = K\,x^{b_{1}}\,e^{b_{2}x},
com C (ou K) constante de integração.

Exercícios relacionados