Volterra fez um modelo matemático para descrever a competição entre duas espécies
e
que habitam um meio ambiente dado, obtendo equações da forma:
e
é a variável tempo.
Usando a regra da cadeia
e as duas equações acima, se obtém
. Determine a solução geral desta equação.
Usando a regra da cadeia
Passo 1
O enunciado nos leva à equação diferencial de primeira ordem
que é um caso clássico de equação com variáveis separáveis. Para resolvê-la, vamos isolar os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro.
Passo 2
Multiplicando em cruz para separar variáveis, obtemos
onde agora todos os
e
estão à esquerda e todos os
e
estão à direita.
Passo 3
Integramos ambos os lados, lembrando que
e
, e de modo análogo para
:
Realizando as integrais, vem
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Reorganizando para a forma implícita padrão, temos
ou, equivalentemente, exponenciando ambos os lados,
com
uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação é dada implicitamente por
ou, de forma equivalente,
com
(ou
) constante de integração.