Nos exercícios 17 a 20, calcule a integral iterada convertendo-a em coordenadas polares.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral iterada
usando coordenadas polares. O conteúdo principal é mudança de variável em integrais duplas e precisamos conhecer a relação entre as curvas dadas e o círculo em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro a gente identifica a região
no plano. A condição
equivale a
, ou seja
. Em polares
e
, isso vira
, de onde
. Como precisamos de
, concluímos que
.
Passo 3
Ao trocar para polares, o integrando
se transforma em
e o elemento de área
vira
. Assim a integral fica
$$\n\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\n\int_{r=0}{\cos\theta}r^{2}\cdot r,dr,d\theta
=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\n\int_{0}{\cos\theta}r^{3},dr,d\theta$$
Passo 4
Agora calculamos a integral em
:
Passo 5
Fica então
Passo 6
Para resolver
, usamos a identidade
$$\n\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}(3+4\cos2\theta+\cos4\theta).
$$
Passo 7
Integrando de
a
, os termos com
e
somam zero por simetria, sobrando
$$\n\int_{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\cos{4}\theta,d\theta=\frac{3}{8}\pi.
$$
Passo 8
Multiplicando pelo
que tínhamos fora, obtemos o valor final da integral.