Nos exercícios 17 a 20, calcule a integral iterada convertendo-a em coordenadas polares.
integral0^1 integral-raizx-x^2^raizx-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral iterada integral0^1integral-raizx-x^2^raizx-x^2(x^2+y^2),dy,dx usando coordenadas polares. O conteúdo principal é mudança de variável em integrais duplas e precisamos conhecer a relação entre as curvas dadas e o círculo em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro a gente identifica a região D no plano. A condição y^2<= x-x^2 equivale a x-x^2-y^2>=0, ou seja rcostheta - r^2>=0. Em polares x=rcostheta e y=rsintheta, isso vira r(costheta - r)>=0, de onde 0<= r<= costheta. Como precisamos de costheta>=0, concluímos que -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.

Passo 3

Ao trocar para polares, o integrando x^2+y^2 se transforma em r^2 e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Assim a integral fica
$$\n\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\n\int_{r=0}{\cos\theta}r^{2}\cdot r,dr,d\theta
=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\n\int_{0}{\cos\theta}r^{3},dr,d\theta$$

Passo 4

Agora calculamos a integral em r:

Passo 5

Fica então

Passo 6

Para resolver integral-tfracpi2^tfracpi2cos^4theta,dtheta, usamos a identidade
$$\n\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}(3+4\cos2\theta+\cos4\theta).
$$

Passo 7

Integrando de -tfracpi2 a tfracpi2, os termos com cos2theta e cos4theta somam zero por simetria, sobrando
$$\n\int_{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\cos{4}\theta,d\theta=\frac{3}{8}\pi.
$$

Passo 8

Multiplicando pelo tfrac14 que tínhamos fora, obtemos o valor final da integral.

Resposta

3pi32

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