Nos exercícios 17 a 20, calcule a integral iterada convertendo-a em coordenadas polares.
integral0^3 integral0^raiz9-y^2 y d x d y

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada integral0^3!integral0^raiz9-y^2y,dx,dy transformando-a em coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e vamos precisar descrever a região de integração em termos de (r,theta), usar o jacobiano r e reescrever y como rsintheta.

Passo 2

A região de integração D em coordenadas cartesianas é dada por 0<= y<=3 e 0<= x<=raiz9-y^2. Isso corresponde ao quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante, isto é, o conjunto (r,theta):0<= r<=3,,0<=theta<=tfracpi2.

Passo 3

Ao passar para coordenadas polares temos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy=r,dr,dtheta. Assim, o integrando y vira rsintheta e o diferencial vira r,dr,dtheta. A integral fica:
integral0^pi/2!integral0^3l(rsinthetar),r,dr,dtheta = integral0^pi/2!integral0^3r^2sintheta,dr,dtheta

Passo 4

Agora é só separar e calcular:
integral0^pi/2sintheta,dtheta ;times; integral0^3r^2,dr
Temos
integral0^pi/2sintheta,dtheta = 1,
integral0^3r^2,dr = r^33|0^3 = 273=9
Multiplicando, obtemos 1times9=9.

Resposta

9

Exercícios relacionados