Nos exercícios 11-16, resolva a integral iterada.
integral0^ln 4 integral0^ln 3 e^x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^ln 4 integral0^ln 3 e^x+y , dy , dx.
Aqui estamos trabalhando com integrais iteradas, que envolvem calcular uma integral dentro de outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e aplicar as propriedades das integrais.

Passo 2

Vamos começar pela integral interna, que é em relação a y:
integral0^ln 3 e^x+y , dy
Nessa parte, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y. Podemos reescrever e^x+y como e^x cdot e^y para facilitar:
integral0^ln 3 e^x cdot e^y , dy = e^x integral0^ln 3 e^y , dy
Agora, integramos e^y em relação a y:
integral e^y , dy = e^y + C
Aplicando os limites de integração de 0 a ln 3:
e^y |0^ln 3 = e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2
Então, a integral interna fica:
e^x cdot 2 = 2e^x

Passo 3

Agora, vamos para a integral externa, que é em relação a x:
integral0^ln 4 2e^x , dx
Podemos fatorar o 2 para facilitar:
2 integral0^ln 4 e^x , dx
A integral de e^x em relação a x é:
integral e^x , dx = e^x + C
Aplicando os limites de integração de 0 a ln 4:
e^x |0^ln 4 = e^ln 4 - e^0 = 4 - 1 = 3
Multiplicando pelo 2:
2 cdot 3 = 6

Resposta

O valor da integral dupla é 6.

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