Nos exercícios 17. a 22., encontre as funções f circ g e g circ f e seus domínios.
f(x)=x+1x, g(x)=x+1x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente achar as funções compostas
  • , isto é , e
  • , isto é ,
    e descobrir os domínios de cada uma.
    O conteúdo principal é composição de funções e cuidado com restrições de domínio (pra não dividir por zero). A gente vai usar operações com frações e analisar quando os denominadores ficam nulos.

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x) ;=; fl(g(x)r) ;=; g(x) ;+;1g(x) .
Por definição:
1g(x) ;=;x+2x+1
Como (fcirc g)(x) =x+1x+2 ;+;x+2x+1 , temos
(fcirc g)(x) =(x+1)^2 + (x+2)^2(x+2)(x+1) =x^2+2x+1 + x^2+4x+4(x+1)(x+2) =2x^2+6x+5(x+1)(x+2)
Então
Para somar, coloca o mesmo denominador :

Passo 3

Domínio de Dom(fcirc g)=Rsetminus-2,,-1 .
  1. exige , logo .
  2. Para ser aplicado a , precisamos também .

    Então .
    Em resumo,

Passo 4

Calcular (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =f(x)+1f(x)+2 .
Por definição:
f(x)+1 = x+1x+1 = x^2 + x +1x, f(x)+2 = x+1x+2 = x^2 +2x +1x
Como (gcirc f)(x) =x^2+x+1xx^2+2x+1x =x^2 + x + 1x^2 + 2x + 1 =x^2 + x + 1(x+1)^2 , temos
Então

Passo 5

Domínio de f(x)+2 = x^2+2x+1x neq 0 ;Long<=ftrightarrow; x^2+2x+1neq0 ;Long<=ftrightarrow; (x+1)^2neq0 ;Long<=ftrightarrow; xneq -1 .
  1. Dom(gcirc f)=Rsetminus0,,-1 pede .
  2. pede . Aqui , então
Em resumo,

Resposta

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