Nos Exercícios 17-26, utilize uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral. (Existem muitas maneiras corretas de montar as integrais, de forma que suas integrais podem não ser as mesmas do final do livro. Contudo, elas devem ter os mesmos valores.)
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano y+2 z=2 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano \,y + 2z = 2 que está “dentro” do cilindro x^{2} + y^{2} = 1. Como esse plano pode ser visto como o gráfico de uma função z = f(x,y) sobre a região plana
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\},
vamos usar a fórmula de área de gráfico:
A \;=\;\iint_{D}\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\;dA.

Passo 2

Resolvendo y + 2z = 2 para z obtemos
z = f(x,y) = \frac{2 - y}{2}.
Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = 0, \quad f_y = -\tfrac12.

Passo 3

No integrando aparece
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + 0 + \tfrac14} = \frac{\sqrt5}{2}.
Logo a área fica
A = \iint_{D} \frac{\sqrt5}{2}\;dA = \frac{\sqrt5}{2}\,\iint_{D}dA.

Passo 4

Como D é um disco de raio 1, tem área \pi. Portanto
A = \frac{\sqrt5}{2}\,\pi = \frac{\pi\sqrt5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt5}{2}

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