Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa cilindrica circular A porção do cilindro y^{2}+(z-5)^{2}= 25 entre os planos x=0 e x=10.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção de cilindro y^2+(z-5)^2=25 entre os planos x=0 e x=10. Trata-se de uma superfície cilíndrica circular reta paralela ao eixo x. Vamos usar um parâmetro para a direção x e outro para o círculo da seção transversal no plano yz.

Passo 2

No plano yz, a curva y^2+(z-5)^2=25 é um círculo de raio 5 centrado em (0,5). Podemos parametrizá-lo por \theta como
y = 5\cos\theta,\quad z = 5 + 5\sin\theta,
com \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Para percorrer a superfície no sentido de x, introduzimos u tal que x=u e u\in[0,10]. Combinando, definimos a parametrização
\mathbf{r}(u,\theta) = \bigl(u,\,5\cos\theta,\,5 + 5\sin\theta\bigr),
onde (u,\theta)\in[0,10]\times[0,2\pi).

Resposta

\mathbf{r}(u,\theta) = \bigl(u,\,5\cos\theta,\,5 + 5\sin\theta\bigr), \quad 0\le u\le 10,\quad 0\le \theta<2\pi.

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