Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(1)=5 \\\ y^{\prime}(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} x^{2}y''-3x\,y'+4y=0,\\\ y(1)=5,\\\ y'(1)=3, \end{cases}
que é uma equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y=x^{m}.

Passo 2

Supondo uma solução y=x^{m}, temos
y'=m\,x^{m-1},\quad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação diferencial:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-3x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+4x^{m}=0,
que simplifica para
m(m-1)x^{m}-3m\,x^{m}+4x^{m}=0.
Fatorando x^{m}\neq0, obtemos a equação característica
m(m-1)-3m+4=0.

Passo 3

A equação característica é
m^{2}-m-3m+4=m^{2}-4m+4=0,
cuja solução é
(m-2)^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad m=2\text{ (raiz dupla).}

Passo 4

Para raiz dupla m=2 de uma equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos y'(x) para aplicar as condições em x=1:
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln(x)
y'(x)=2C_{1}x+C_{2}\bigl(2x\ln(x)+x\bigr) =2C_{1}x+C_{2}x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).
Em x=1, como \ln(1)=0, temos
y(1)=C_{1}=5,
y'(1)=2C_{1}+C_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot5+C_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-7.

Resposta

\boxed{y(x)=5\,x^{2}-7\,x^{2}\ln(x).}

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