Seja a integral tripla
onde
é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone
dentro da esfera
e fora da esfera
.
Escreva a integral em coordenadas esféricas.
Escreva a integral em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla dada:
Onde $ S $ é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $, dentro da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ e fora da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=1 $. Vamos reescrever essa integral usando coordenadas esféricas. Para isso, precisamos entender como transformar a função e os limites de integração para o sistema esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto $ (x, y, z) $ é representado por $ (\rho, \theta, \phi) $, onde:
- $ \rho $ é a distância do ponto à origem.
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ (azimute).
- $ \phi $ é o ângulo entre o eixo $ z $ e a linha que conecta a origem ao ponto (polar).
As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos transformar o integrando $ \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}}} $ para coordenadas esféricas. Note que:
Portanto, o integrando se torna:
Passo 4
Em seguida, vamos identificar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
-
Para $ \theta $: Como a região é simétrica em torno do eixo $ z $, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
-
Para $ \rho $: A região $ S $ está entre as esferas $ \rho = 1 $ e $ \rho = 2 $.
-
Para $ \phi $: A região está acima do cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $. Vamos encontrar o ângulo $ \phi $ correspondente a esse cone.
Passo 5
Vamos determinar o ângulo $ \phi $ que corresponde ao cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $.
Substituindo as coordenadas esféricas na equação do cone:
Portanto, $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{6} $.
Passo 6
Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas esféricas com todos os limites definidos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A integral tripla em coordenadas esféricas é: