Seja a integral tripla
integralegral triplaS 1raizx^2+y^2 d V
onde S é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone z=raiz3(x^2+y^2) dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4 e fora da esfera x^2+y^2+z^2=1.
Escreva a integral em coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada:
integral triplaS 1raizx^2+y^2 , dV
Onde $ S $ é o sólido formado pelos pontos que estão acima do cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $, dentro da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ e fora da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=1 $. Vamos reescrever essa integral usando coordenadas esféricas. Para isso, precisamos entender como transformar a função e os limites de integração para o sistema esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto $ (x, y, z) $ é representado por $ (\rho, \theta, \phi) $, onde:
  • $ \rho $ é a distância do ponto à origem.
  • $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ (azimute).
  • $ \phi $ é o ângulo entre o eixo $ z $ e a linha que conecta a origem ao ponto (polar).
As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
(x, y, z)
(rho, theta, phi)
rho
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
theta

Passo 3

Agora, vamos transformar o integrando $ \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}}} $ para coordenadas esféricas. Note que:
1raizx^2+y^2
Portanto, o integrando se torna:
raizx^2+y^2 = rho sinphi

Passo 4

Em seguida, vamos identificar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
  • Para $ \theta $: Como a região é simétrica em torno do eixo $ z $, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
  • Para $ \rho $: A região $ S $ está entre as esferas $ \rho = 1 $ e $ \rho = 2 $.
  • Para $ \phi $: A região está acima do cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $. Vamos encontrar o ângulo $ \phi $ correspondente a esse cone.

Passo 5

Vamos determinar o ângulo $ \phi $ que corresponde ao cone $ z = \sqrt{3(x{2}+y{2})} $.
Substituindo as coordenadas esféricas na equação do cone:
phi
z = raiz3(x^2+y^2)
rho cosphi = raiz3(rho^2 sin^2phi)
rho cosphi = rho raiz3 sinphi
cosphi = raiz3 sinphi
Portanto, $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{6} $.

Passo 6

Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas esféricas com todos os limites definidos:
integral triplaS 1raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi6 integral1^2 1rho sinphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^pi6 integral1^2 rho , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral tripla em coordenadas esféricas é:
integral0^2pi integral0^pi6 integral1^2 rho , drho , dphi , dtheta

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