Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.
y^prime prime-y^prime+y4-3=e^2 / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear não-homogênea. Vamos precisar de: (a) a solução geral da equação homogênea associada e (b) uma particular para o termo não-homogêneo constante.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. Escrevemos a equação associada sem o termo à direita:
y'' - y' + tfrac14,y = 0
A equação característica é
r^2 - r + tfrac14 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Como De, há uma raiz real dupla:
r = 12
Logo a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2,x)e^x/2

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo não-homogêneo. A EDO virou
y'' - y' + tfrac14,y = 3 + e,
pois e^2/2=e^1=e e movemos o -3) para o outro lado. Como o lado direito é constante, tentamos yp = A, constante.
Substituindo: yp''=0 e yp'=0, então a equação vira
tfrac14,A = 3 + e
Resolvendo para A:
A = 4(3 + e) = 12 + 4e
Portanto
yp = 12 + 4e

Passo 4

A solução geral é a soma de homogênea e particular:
y(x) = yh(x) + yp = (C1 + C2,x)e^x/2 + 12 + 4e
E aí está a família completa de soluções.

Passo 5

Finalizamos dizendo que quaisquer constantes C1,C2 reais geram uma solução válida.

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2,x)e^{x/2} + 12 + 4e

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