Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear não-homogênea. Vamos precisar de: (a) a solução geral da equação homogênea associada e (b) uma particular para o termo não-homogêneo constante.
Conteúdo: EDO linear não-homogênea. Vamos precisar de: (a) a solução geral da equação homogênea associada e (b) uma particular para o termo não-homogêneo constante.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. Escrevemos a equação associada sem o termo à direita:
A equação característica é
Calculamos o discriminante:
Como
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não-homogêneo. A EDO virou
pois
Substituindo:
Resolvendo para
:
Portanto
Passo 4
A solução geral é a soma de homogênea e particular:
E aí está a família completa de soluções.
Passo 5
Finalizamos dizendo que quaisquer constantes
reais geram uma solução válida.
Resposta
y(x) = (C_1 + C_2,x)e^{x/2} + 12 + 4e