Nos exercícios 25 e 26 encontre a trajetória ortogonal da familia de curvas dadas.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a família de curvas . O conteúdo é trajetória ortogonal, e vamos precisar usar derivada implícita para achar a inclinação de cada curva e em seguida aplicar a condição de ortogonalidade (produto das inclinações = –1).
Passo 2
Diferenciar implicitamente a família original em relação a :
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Expressar a constante em função de e usando a equação original, isto é, . Substituindo na derivada:
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Passo 4
A inclinação da trajetória ortogonal deve satisfazer
Passo 5
Separar as variáveis na equação diferencial ortogonal:
dydx = -2x3y
Reescrevendo: 3y,dy = -2x,dx
Passo 6
Integrar ambos os lados:
integral 3y,dy = integral -2x,dx implies 32y^2 = -x^2 + K
Reorganizando para isolar a constante do lado direito: x^2 + 32y^2 = C,