Nos exercícios 25 e 26 encontre a trajetória ortogonal da familia de curvas dadas.
y^2=c1 x^3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a família de curvas y^2 = c1 x^3. O conteúdo é trajetória ortogonal, e vamos precisar usar derivada implícita para achar a inclinação de cada curva e em seguida aplicar a condição de ortogonalidade (produto das inclinações = –1).

Passo 2

Diferenciar implicitamente a família original em relação a x:
y^2 = c1 x^3
Derivando ambos os lados:
2ydydx = c1cdot3x^2

Passo 3

Expressar a constante c1 em função de x e y usando a equação original, isto é, c1 = y^2x^3. Substituindo na derivada:
2ydydx = 3x^2y^2x^3 = 3y^2x
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dydx = 3y2x

Passo 4

A inclinação da trajetória ortogonal deve satisfazer
dydx|perp ;=;-1dydx = -13y2x = -2x3y

Passo 5

Separar as variáveis na equação diferencial ortogonal:
dydx = -2x3y
Reescrevendo:
3y,dy = -2x,dx

Passo 6

Integrar ambos os lados:
integral 3y,dy = integral -2x,dx implies 32y^2 = -x^2 + K
Reorganizando para isolar a constante do lado direito:
x^2 + 32y^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

x^2 + tfrac32y^2 = C

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