Nos exercícios 6 a 18, escreva uma inequação e resolva-a para determinar as respostas desejadas.
Se um terreno retangular deve ter perímetro de 120 m e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de seus lados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O terreno é retangular e tem perímetro igual a \,120\\ \text{m}.
  • Um lado deve medir ao menos o dobro do outro (ou seja, um lado é maior ou igual ao dobro do menor).
  • A pergunta: quanto deve medir o lado menor? (queremos a descrição dos comprimentos possíveis do lado menor).

Passo 2

Vamos definir variáveis para traduzir a situação em matemática de forma clara e simples.
  • Seja \,x o comprimento do lado menor (em metros). Aqui assumo \,x>0.
  • Seja \,y o comprimento do outro lado (o maior ou igual a \,x), em metros.
Do perímetro de um retângulo sabemos que a soma dos quatro lados é \,120\\ \text{m}, ou seja:
2(x+y)=120
Essa equação relaciona \,x e \,y.

Passo 3

Usando a equação do perímetro, isolo \,y em função de \,x para poder aplicar a condição “um lado é ao menos o dobro do outro”.
Da equação do perímetro:
2(x+y)=120
Dividindo ambos os lados por \,2:
x+y=60
Agora isolo \,y:
y=60-x

Passo 4

Agora uso a condição dada: “um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro”. Como \,x é o lado menor, isso significa que o outro lado \,y deve satisfazer
y \ge 2x.
Substituo a expressão que encontrei para \,y ( y=60-x) nessa desigualdade:
60-x \ge 2x

Passo 5

Resolvendo a desigualdade linear \,60-x \ge 2x:
  1. Isolo os termos com \,x no mesmo lado:
60 \ge 2x + x
  1. Faço a soma no lado direito:
60 \ge 3x
  1. Divido ambos os lados por \,3 (como \,3>0, o sentido da desigualdade não muda):
20 \ge x
Isto é equivalente a
x \le 20.
Além disso, como x é comprimento, deve valer x>0. Portanto o conjunto de valores possíveis para o lado menor é
0 < x \le 20.

Passo 6

Interpretação prática e checagem de exemplos:
  • Se \,x=20\\ \text{m} (o extremo), então \,y=60-20=40\\ \text{m}. A condição \,y\ge2x fica \,40\ge40, verdadeira — aqui o outro lado é exatamente o dobro.
  • Se \,x=10\\ \text{m}, então \,y=50\\ \text{m} e \,50\ge20, também funciona.
  • Valores maiores que \,20\\ \text{m} não são permitidos porque quebram a condição de que o outro lado seja pelo menos o dobro.
Portanto o lado menor pode assumir qualquer valor positivo até \,20\\ \text{m}, inclusive \,20\\ \text{m}.

Resposta

\,0 < x \le 20\\ \text{m}

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