Nos exercícios 6 a 18, escreva uma inequação e resolva-a para determinar as respostas desejadas.
Se um terreno retangular deve ter perímetro de 120 m e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de seus lados.
Se um terreno retangular deve ter perímetro de 120 m e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de seus lados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O terreno é retangular e tem perímetro igual a
. - Um lado deve medir ao menos o dobro do outro (ou seja, um lado é maior ou igual ao dobro do menor).
- A pergunta: quanto deve medir o lado menor? (queremos a descrição dos comprimentos possíveis do lado menor).
Passo 2
Vamos definir variáveis para traduzir a situação em matemática de forma clara e simples.
- Seja
o comprimento do lado menor (em metros). Aqui assumo . - Seja
o comprimento do outro lado (o maior ou igual a ), em metros.
Do perímetro de um retângulo sabemos que a soma dos quatro lados é
, ou seja:
Essa equação relaciona
e
.
Passo 3
Usando a equação do perímetro, isolo
em função de
para poder aplicar a condição “um lado é ao menos o dobro do outro”.
Da equação do perímetro:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora isolo
:
Passo 4
Agora uso a condição dada: “um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro”. Como
é o lado menor, isso significa que o outro lado
deve satisfazer
Substituo a expressão que encontrei para
(
) nessa desigualdade:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade linear
:
- Isolo os termos com
no mesmo lado:
- Faço a soma no lado direito:
- Divido ambos os lados por
(como , o sentido da desigualdade não muda):
Isto é equivalente a
Além disso, como
é comprimento, deve valer
. Portanto o conjunto de valores possíveis para o lado menor é
Passo 6
Interpretação prática e checagem de exemplos:
- Se
(o extremo), então . A condição fica , verdadeira — aqui o outro lado é exatamente o dobro. - Se
, então e , também funciona. - Valores maiores que
não são permitidos porque quebram a condição de que o outro lado seja pelo menos o dobro.
Portanto o lado menor pode assumir qualquer valor positivo até
, inclusive
.