Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo envolve integrais que usam identidades trigonométricas e substituição de variáveis.
Passo 2
Reescrevemos o integrando de modo a extrair
para usar a substituição
. Observe que
e como
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Logo,
Passo 4
Para integrar
separa-se em duas parcelas:
$$
\frac{\sqrt{1+u2}}{u}=\frac{1+u2}{u\sqrt{1+u2}}=\frac{u}{\sqrt{1+u2}}+\frac{1}{u\sqrt{1+u^2}}.
\int\frac{u}{\sqrt{1+u2}},du=\sqrt{1+u2},
\quad
\int\frac{1}{u\sqrt{1+u2}},du=\ln\Bigl|\frac{u}{1+\sqrt{1+u2}}\Bigr|.
\quad
\int\frac{1}{u\sqrt{1+u2}},du=\ln\Bigl|\frac{u}{1+\sqrt{1+u2}}\Bigr|.
\sqrt{1+u2}+\ln\Bigl|\frac{u}{1+\sqrt{1+u2}}\Bigr|+C.
$$
Passo 5
Voltando a
pela relação
e
, temos
Usando identidade logarítmica, isto é equivalente a