Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
® integral sec ^3(theta)tan (theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dfracsec^3thetatantheta,dtheta. O conteúdo envolve integrais que usam identidades trigonométricas e substituição de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de modo a extrair sec^2theta,dtheta para usar a substituição u=tantheta. Observe que
sec^3thetatantheta=sec^2thetasintheta,
e como sec^2theta,dtheta=d(tantheta) e sintheta será expresso em função de tantheta.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u=tantheta, du=sec^2theta,dtheta, sintheta=uraiz1+u^2
Logo,
integralsec^2thetasintheta,dtheta =integral1sintheta,sec^2theta,dtheta =integralraiz1+u^2u,du

Passo 4

Para integrar
integralraiz1+u^2u,du,
separa-se em duas parcelas:
$$
\frac{\sqrt{1+u2}}{u}=\frac{1+u2}{u\sqrt{1+u2}}=\frac{u}{\sqrt{1+u2}}+\frac{1}{u\sqrt{1+u^2}}.
raiz1+u^2u=1+u^2uraiz1+u^2=uraiz1+u^2+1uraiz1+u^2 ã
\int\frac{u}{\sqrt{1+u2}},du=\sqrt{1+u2},
\quad
\int\frac{1}{u\sqrt{1+u2}},du=\ln\Bigl|\frac{u}{1+\sqrt{1+u2}}\Bigr|.
integraluraiz1+u^2,du=raiz1+u^2, integral1uraiz1+u^2,du=lnl|u1+raiz1+u^2r|
\sqrt{1+u2}+\ln\Bigl|\frac{u}{1+\sqrt{1+u2}}\Bigr|+C.
$$

Passo 5

Voltando a theta pela relação u=tantheta e raiz1+u^2=sectheta, temos
sectheta+lnl|tantheta1+secthetar|+C
Usando identidade logarítmica, isto é equivalente a
sectheta-lnl|sectheta+tanthetar|+C'

Resposta

sec(theta)-lnl|sec(theta)+tan(theta)r|+C

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