Nos exercícios 19 e 20 resolva o PVI.
y^prime=4 y4 x+y, y(1)=1

Passo 1

O problema pede resolver o PVI
y' = 4,y4,x + y, y(1)=1
Note que a função à direita é homogênea de grau zero, pois
4,(t y)4,(t x)+(t y) =4,y4,x+y
Sempre que f(x,y) é homogênea de grau zero, fazemos a substituição
y = v,x,
com v=v(x).

Passo 2

Derivando y=vx temos
y' = v + x,dvdx
Substituindo em
y' = 4y4x+y
v + xdvdx = 4,(v,x)4x + v,x = 4v4+v
Reorganizando para isolar dv/dx:
xdvdx = 4v4+v - v = vl(44+v-1r) = -v^24+v

Passo 3

Separamos as variáveis:
4+vv^2,dv = -dxx
Note que
4+vv^2 = 4v^2 + 1v,
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integrall(4v^2+1vr)dv = -integraldxx
Calculando as integrais:
integral 4v^2dv = -4v, integral 1vdv = ln|v|, integral dxx = ln|x|
Fica
-4v + ln|v| = -ln|x| + C

Passo 4

Usando a condição y(1)=1 implica v(1)=y(1)/1=1. Substituindo x=1, v=1 em
-4v + ln v = -ln x + C
obtém-se
-4 + 0 = 0 + C Longrightarrow C = -4
Portanto a solução implícita é
-4v + ln v = -ln x -4

Passo 5

Para explicitar v usamos exponenciação:
ln v - 4v = -ln x -4 Longrightarrow expl(ln v - 4vr) = exp(-ln x -4)
v,e^-4/v = e^-4x
Defina u = -tfrac4v, então v=-4/u e e^-4/v=e^u. A equação fica
-4ue^u = e^-4x Longrightarrow u,e^-u = -4,x,e^4
Da definição da função de Lambert W, se z e^z=A então z=W(A). Aqui escrevemos
(-u)e^-u=4,x,e^4 Longrightarrow -u = Wl(4,x,e^4r) Longrightarrow u = -,Wl(4,x,e^4r)
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v = -4u = 4Wl(4,x,e^4r)
Como y=vx, a solução explícita do PVI é

Resposta

y(x) = 4,xWl(4,x,e^4r)

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