Nos exercícios 21 e 22 resolva a EDO fazendo a mudança de variável indicada.
x y^prime-y=x^3 e^y / xy (faça u=y / x)

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x,y' - y = x^3e^y/xy
e pede para usar a mudança de variável
u = yx
O objetivo é transformar a EDO numa forma separável em u e x.

Passo 2

Escrevemos y e y' em função de u. Como y = x,u, temos
y = x,u,
dydx = u + x,dudx

Passo 3

Substituímos essas expressões em x,y' - y e em tfracx^3e^y/xy:
x,y' - y = xl(u + x,dudxr) - x,u = x^2,dudx,
x^3e^y/xy = x^3e^ux,u = x^2e^uu
Logo a EDO fica
x^2,dudx = x^2e^uu Longrightarrow dudx = e^uu

Passo 4

A EDO tfracdudx = tfrace^uu é separável. Reescrevemos
u,e^-u,du = dx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral u,e^-u,du = integral dx
Pela integração por partes no lado esquerdo (tomando v = u, dw = e^-udu), obtém-se
integral u,e^-u,du = -(u+1)e^-u + C1,
e
integral dx = x + C2
Portanto
-(u+1)e^-u = x + C,
onde C = C2-C1 é constante geral.

Passo 6

Voltando a u = y/x, a solução implícita fica
l(tfracyx+1r)e^-y/x + x = C

Resposta

l(tfracyx+1r)e^-y/x + x = C

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