Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total dudt usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
u=tg^-1(yx) ; x=ln t ; y=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada total dudt usando a regra da cadeia. A gente tem que evitar expressar u como função direta de t antes de derivar. Vamos trabalhar com:
u = tan^-1(yx); x = ln t; y = e^t
Aqui, estamos lidando com funções compostas, então a Regra da Cadeia é essencial. Vamos precisar aplicar derivadas parciais e entender como u depende de x e y, que por sua vez dependem de t.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como u depende de x e y. Temos:
u = tan^-1(yx)
Queremos encontrar dudt, e para isso, usamos a regra da cadeia:
dudt = partial upartial x cdot dxdt + partial upartial y cdot dydt
Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial upartial x e partial upartial y, além de dxdt e dydt.

Passo 3

Vamos calcular partial upartial x. Sabemos que:
u = tan^-1(yx)
A derivada de tan^-1(z) em relação a z é 11 + z^2. Usando a regra da cadeia:
partial upartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial y:
partial upartial y = 11 + (yx)^2 cdot (1x) = xx^2 + y^2

Passo 5

Em seguida, determinamos dxdt e dydt:
x = ln t Rightarrow dxdt = 1t
y = e^t Rightarrow dydt = e^t

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
dudt = (-yx^2 + y^2) cdot 1t + (xx^2 + y^2) cdot e^t

Passo 7

Para simplificar, podemos fatorar 1x^2 + y^2:
dudt = 1x^2 + y^2 ( -yt + x e^t )

Passo 8

Agora, substituímos x e y pelas expressões em termos de t:
x = ln t; y = e^t
Então,
x^2 + y^2 = (ln t)^2 + (e^t)^2
E:
-yt + x e^t = -e^tt + (ln t) e^t = e^t ( ln t - 1t )

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de dudt:
dudt = e^t ( ln t - 1t )(ln t)^2 + e^2t

Resposta

A derivada total é:
dudt = e^t ( ln t - 1t )(ln t)^2 + e^2t

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