Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total
usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada total
usando a regra da cadeia. A gente tem que evitar expressar
como função direta de
antes de derivar. Vamos trabalhar com:
Aqui, estamos lidando com funções compostas, então a Regra da Cadeia é essencial. Vamos precisar aplicar derivadas parciais e entender como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
e
. Temos:
Queremos encontrar
, e para isso, usamos a regra da cadeia:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
, além de
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Em seguida, determinamos
e
:
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 7
Para simplificar, podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
pelas expressões em termos de
:
Então,
E:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A derivada total é: