Use a definição para calcular Lf(t) onde
f(t)=rc sen t, & 0 <= t= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de uma função por partes: f(t)=sen t para 0≤t<π e f(t)=0 para t≥π. O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace, que exige calcular Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt, e para isso precisaremos usar integração por partes em uma integral de função exponencial vezes seno.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a definição da transformada de Laplace e exploramos a parte onde f(t)≠0:
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt=integral0^pisin t,e^-st,dt+integralpi^infty0cdot e^-st,dt=integral0^pisin t,e^-st,dt

Passo 3

Para calcular integral e^-stsin t,dt, fazemos integração por partes duas vezes. O resultado geral é:
integral e^-stsin t,dt=-e^-stl(ssin t+cos tr)s^2+1+C

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva de 0 a π:
integral0^pisin t,e^-st,dt=[-e^-st(ssin t+cos t)s^2+1]0^pi =e^-spi+1s^2+1

Resposta

Lf(t)=\frac{1+e{-s\pi}}{s2+1})

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