Resolva a seguinte equação diferencial homogênea
y^prime prime prime+3 y^prime prime-4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea de terceira ordem que é:
y^prime prime prime+3 y^prime prime-4 y=0
Esse tipo de equação envolve derivadas de $ y $ e a gente vai precisar usar a matéria de equações diferenciais com coeficientes constantes. Basicamente, vamos montar uma equação característica para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir. Então, a equação fica:
y^(n)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de $ r $. Isso pode ser feito tentando fatores possíveis. Vamos testar $ r = 1 $:
r
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação cúbica:
r = 1
Depois, resolvemos a equação quadrática:
1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1
Então, $ r = -2 $ é uma raiz dupla.

Passo 4

Temos as raízes:
  • $ r_1 = 1 $
  • $ r_2 = -2 $ (duas vezes)
Como temos raízes reais e distintas ($ r_1 r1 = 1 r_2 $), a solução geral da equação diferencial é:
r2 = -2
Onde $ C_1 $, $ C_2 $, e $ C_3 $ são constantes que a gente determina com condições iniciais (se tiver).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-2x + C3 x e^-2x
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

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