Resolva a seguinte equação diferencial homogênea
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea de terceira ordem que é:
Esse tipo de equação envolve derivadas de $ y $ e a gente vai precisar usar a matéria de equações diferenciais com coeficientes constantes. Basicamente, vamos montar uma equação característica para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de $ r $. Isso pode ser feito tentando fatores possíveis. Vamos testar $ r = 1 $:
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação cúbica:
Depois, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, $ r = -2 $ é uma raiz dupla.
Passo 4
Temos as raízes:
- $ r_1 = 1 $
- $ r_2 = -2 $ (duas vezes)
Como temos raízes reais e distintas ($ r_1
r_2 $), a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $, e $ C_3 $ são constantes que a gente determina com condições iniciais (se tiver).
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.