Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total dudt usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
u=x y+x z+y z ; x=t cos t ; y=t sen t ; z=t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a derivada total du/dt de u=xy+xz+yz sabendo que x=tcos t, y=tsin t e z=t. O conteúdo aqui é regra da cadeia para função de várias variáveis e vamos precisar das derivadas parciais de u e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Para função de várias variáveis, a regra da cadeia diz que a derivada total é dada por
dudt=partial upartial x,dxdt+partial upartial y,dypartial t+partial upartial z,dzdt

Passo 3

Como u=xy+xz+yz, calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x=y+z, partial upartial y=x+z, partial upartial z=x+y

Passo 4

Derivando x,y,z em relação a t:
dxdt=ddt(tcos t)=cos t - tsin t, dydt=ddt(tsin t)=sin t + tcos t, dzdt=ddt(t)=1

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos as parciais e as derivadas:
dudt=(y+z)(cos t - tsin t)+(x+z)(sin t + tcos t)+(x+y)cdot1

Passo 6

Por fim, colocamos x=tcos t, y=tsin t e z=t na expressão:
dudt=(tsin t + t)(cos t - tsin t)+(tcos t + t)(sin t + tcos t)+tcos t+tsin t

Resposta

dudt=(tsin t + t)(cos t - tsin t)+(tcos t + t)(sin t + tcos t)+tcos t+tsin t

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