Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total dudt usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
u=x+ty+t ; x=ln t ; y=ln 1t

Passo 1

A questão pede a derivada total du/dt de
u=x+ty+t, x=ln t, y=ln1t=-ln t,
usando a regra da cadeia, sem reescrever u diretamente em função de t antes de derivar. Vamos precisar lembrar da definição de derivada parcial de um quociente e da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de u(x,y,t):
partial upartial x=1y+t, partial upartial y=-x+t(y+t)^2, partial upartial t=(y+t)cdot1-(x+t)cdot1(y+t)^2= racy-x(y+t)^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t e montamos a regra da cadeia:
dxdt=ddt(ln t)=1t, dydt=ddt(-ln t)=-1t
Então
dudt=partial upartial xdxdt+partial upartial ydydt+partial upartial t =1y+tcdot1t+l(-x+t(y+t)^2r)l(-1tr)+y-x(y+t)^2

Passo 4

Fazendo a soma e, por fim, substituindo x=ln t e y=-ln t, obtemos
dudt= rac2(1-ln t)(t-ln t)^2

Resposta

dudt=2l(1-ln tr)l(t-ln tr)^2

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