Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total dudt usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
u=ln (x^2+y^2+t^2) ; x=t sen t ; y=cos t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função u=lnl(x^2+y^2+t^2r), com x=tsin t e y=cos t. O objetivo é achar dudt usando a regra da cadeia, sem antes expressar diretamente u como função de t. Vamos aplicar derivadas parciais e derivadas de x, y e t.

Passo 2

O conteúdo teórico aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se u=u(x,y,t), então
dudt=uxdxdt+uydydt+utdtdt
Precisamos calcular as derivadas parciais ux, uy, ut.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de u=lnl(x^2+y^2+t^2r):
ux=1x^2+y^2+t^2cdot 2x=2xx^2+y^2+t^2,
uy=2yx^2+y^2+t^2,
ut=2tx^2+y^2+t^2

Passo 4

Agora, derivamos x, y e t em relação a t:
dxdt=ddt(tsin t)=sin t + tcos t,
dydt=ddt(cos t)=-sin t,
dtdt=1

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
dudt=uxdxdt+uydydt+utcdot1 =2xx^2+y^2+t^2(sin t + tcos t) +2yx^2+y^2+t^2(-sin t) +2tx^2+y^2+t^2

Passo 6

Por fim, substituímos x=tsin t e y=cos t e escrevemos tudo em função de t. O denominador fica

e o numerador é

Podemos deixar a forma final agrupada.

Passo 7

Para simplificar, fatoramos 2 no numerador e escrevemos a resposta final em função só de t.

Resposta

dudt=2l(tsin^2t+t^2sin tcos t-sin tcos t+tr)t^2sin^2t+cos^2t+t^2

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