Nos Exercícios de 19 a 22, ache a derivada total
usando a regra da cadeia; não expresse u como função de t antes da diferenciação.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
, com
e
. O objetivo é achar
usando a regra da cadeia, sem antes expressar diretamente
como função de
. Vamos aplicar derivadas parciais e derivadas de
,
e
.
Passo 2
O conteúdo teórico aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
, então
Precisamos calcular as derivadas parciais
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, derivamos
,
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Por fim, substituímos
e
e escrevemos tudo em função de
. O denominador fica
e o numerador é
Podemos deixar a forma final agrupada.
e o numerador é
Podemos deixar a forma final agrupada.
Passo 7
Para simplificar, fatoramos
no numerador e escrevemos a resposta final em função só de
.