Resolva os PVI’s abaixo:
ly^prime+y=(1+e^t)^-1 y(0)=ln (2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y'+y=(1+e^t)^-1,;y(0)=ln2. Trata-se de uma equação diferencial linear de 1ª ordem, então vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

A equação está na forma y'+p(t)y=q(t) com p(t)=1. Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral1,dt=e^t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=e^t para obter
e^t y'+e^t y=e^t1+e^t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^t y:
ddt(e^t y)=e^t y'+e^t y

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t, temos
integralddt(e^t y),dt=integrale^t1+e^t,dt Longrightarrow e^t y=lnl(1+e^tr)+C

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t)=e^-tlnl(1+e^tr)+C,e^-t

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=ln2, substituímos t=0 na solução geral:
y(0)=e^0ln2+C,e^0=ln2+C=ln2\nLogo, C=0.

Resposta

y(t)=e{-t}\ln\bigl(1+et\bigr)

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