Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 8 t, 4,-t^{3}\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 0, e^{t},-6\right\rangle
\frac{d}{d t}\left(\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)\right)

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas-vetoriais
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 8 t,\,4,\,-t^{3}\right\rangle,\qquad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 0,\,e^{t},\,-6\right\rangle
e pede a derivada temporal do produto escalar entre elas:
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t)\big).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Componentes de \mathbf{r}_{1}: primeira 8t, segunda 4, terceira -t^{3}.
  • Componentes de \mathbf{r}_{2}: primeira 0, segunda e^{t}, terceira -6.
  • Quer-se a derivada em relação a t do produto escalar.

Passo 2

Aplicaremos a regra do produto apropriada ao produto escalar. A regra diz que, para duas funções vetoriais \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t),
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t)\big) = \mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) + \mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t).
Aqui \mathbf{r}_{1}'(t) e \mathbf{r}_{2}'(t) são as derivadas componente a componente. Essa fórmula é análoga à regra do produto escalar em componentes: cada termo da soma vem de derivar um dos fatores enquanto o outro fica como está.

Passo 3

Vamos derivar cada componente (regras usadas: derivada de constante é 0; derivada de t\mapsto t^{n} é n t^{n-1}; derivada de e^{t} é e^{t}).
Derivadas das componentes de \mathbf{r}_{1}:
\mathbf{r}_{1}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(8t),\;\frac{d}{dt}(4),\;\frac{d}{dt}(-t^{3})\right\rangle = \left\langle 8,\;0,\;-3t^{2}\right\rangle.
Derivadas das componentes de \mathbf{r}_{2}:
\mathbf{r}_{2}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(0),\;\frac{d}{dt}(e^{t}),\;\frac{d}{dt}(-6)\right\rangle = \left\langle 0,\;e^{t},\;0\right\rangle.

Passo 4

Calcular o primeiro termo da regra do produto:
\mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) = \left\langle 8,\;0,\;-3t^{2}\right\rangle\cdot\left\langle 0,\;e^{t},\;-6\right\rangle.
O produto escalar é soma dos produtos das componentes:
\mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) = 8\cdot 0 + 0\cdot e^{t} + (-3t^{2})\cdot(-6) = 0 + 0 + 18t^{2} = 18t^{2}.

Passo 5

Calcular o segundo termo da regra do produto:
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t) = \left\langle 8t,\;4,\;-t^{3}\right\rangle\cdot\left\langle 0,\;e^{t},\;0\right\rangle.
Novamente somando os produtos das componentes:
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t) = (8t)\cdot 0 + 4\cdot e^{t} + (-t^{3})\cdot 0 = 0 + 4e^{t} + 0 = 4e^{t}.

Passo 6

Somando os dois termos conforme a regra do produto, obtemos
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}\big) = 18t^{2} + 4e^{t}.
Podemos fazer uma verificação rápida calculando primeiro o produto escalar e depois derivando:
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t)= (8t)\cdot 0 + 4\cdot e^{t} + (-t^{3})\cdot(-6) = 4e^{t} + 6t^{3},
e derivando esse escalar:
\frac{d}{dt}\big(4e^{t} + 6t^{3}\big) = 4e^{t} + 18t^{2},
que coincide com o resultado acima. Boa checagem!

Resposta

18t^{2} + 4e^{t}

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