Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas-vetoriais
e pede a derivada temporal do produto escalar entre elas:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Componentes de
: primeira , segunda , terceira . - Componentes de
: primeira , segunda , terceira . - Quer-se a derivada em relação a
do produto escalar.
Passo 2
Aplicaremos a regra do produto apropriada ao produto escalar. A regra diz que, para duas funções vetoriais
e
,
Aqui
e
são as derivadas componente a componente. Essa fórmula é análoga à regra do produto escalar em componentes: cada termo da soma vem de derivar um dos fatores enquanto o outro fica como está.
Passo 3
Vamos derivar cada componente (regras usadas: derivada de constante é
; derivada de
é
; derivada de
é
).
Derivadas das componentes de
:
Derivadas das componentes de
:
Passo 4
Calcular o primeiro termo da regra do produto:
O produto escalar é soma dos produtos das componentes:
Passo 5
Calcular o segundo termo da regra do produto:
Novamente somando os produtos das componentes:
Passo 6
Somando os dois termos conforme a regra do produto, obtemos
Podemos fazer uma verificação rápida calculando primeiro o produto escalar e depois derivando:
e derivando esse escalar:
que coincide com o resultado acima. Boa checagem!