Esboce as curva \mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t, t^{2}\right\rangle junto com seu vetor tangente em t=1. Em seguida, faça o mesmo com \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{3}, t^{6}\right\rangle.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede esboçar a curva \mathbf{r}_1(t)=\left\langle t, t^{2}\right\rangle e desenhar o vetor tangente a essa curva em t=1.
  • Pede também esboçar a curva \mathbf{r}_2(t)=\left\langle t^{3}, t^{6}\right\rangle e desenhar o vetor tangente em t=1.
  • Informações relevantes dadas:
    • Para \mathbf{r}_1: coordenadas paramétricas x=t e y=t^{2}.
    • Para \mathbf{r}_2: coordenadas paramétricas x=t^{3} e y=t^{6}.

Passo 2

Entendendo como obter o ponto da curva e o vetor tangente (aulas rápidas e úteis).
  • Para uma curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle, o ponto no parâmetro t_0 é \mathbf{r}(t_0)=\langle x(t_0),y(t_0)\rangle.
  • O vetor tangente (vetor velocidade) é a derivada \mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),y'(t)\rangle. Ele aponta na direção da trajetória quando t aumenta.
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente quando x'(t)\neq0 é \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.Isso dá a inclinação numérica da reta tangente no ponto correspondente.

Passo 3

Aplicando as regras a \mathbf{r}_1(t)=\left\langle t,t^{2}\right\rangle.
  • Primeiro calcule o ponto em t=1: \mathbf{r}_1(1)=\left\langle 1,1^{2}\right\rangle=\left\langle 1,1\right\rangle.
  • Derive para obter o vetor tangente: \mathbf{r}_1'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^{2}\right\rangle=\left\langle 1,2t\right\rangle.Em t=1: \mathbf{r}_1'(1)=\left\langle 1,2\right\rangle.
  • A inclinação da reta tangente em t=1 é \frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=\frac{2t}{1}\Big|_{t=1}=2.Logo a equação da reta tangente (usando ponto-slope) é y-1=2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.
  • Como esboçar passo a passo (prático para a prova):
    1. Reconheça que a trajetória é a parábola usual y=x^{2} (porque aqui x=t e y=t^{2}\Rightarrow y=x^{2}).
    2. Marque pontos fáceis: t=-1\Rightarrow(-1,1), t=0\Rightarrow(0,0), t=1\Rightarrow(1,1).
    3. No ponto (1,1) desenhe o vetor \langle1,2\rangle. Para desenhar graficamente: a partir de (1,1) vá uma unidade à direita até x=2 e duas unidades para cima até y=3; desenhe a seta nessa direção (ou desenhe a reta y=2x-1 para ver o tangente estendido).
  • Se quiser o vetor tangente unitário: \|\mathbf{r}_1'(1)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5},\qquad \mathbf{T}_1(1)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\langle 1,2\right\rangle=\left\langle \frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right\rangle.

Passo 4

Agora \mathbf{r}_2(t)=\left\langle t^{3},t^{6}\right\rangle — observe a curva e calcule o tangente em t=1.
  • Primeiro observe que, identificando u=t^{3}, tem-se x=u e y=u^{2}. Assim a trajetória geométrica é a mesma parábola y=x^{2} (peguei isso da própria expressão de \mathbf{r}_2).
  • Ponto em t=1: \mathbf{r}_2(1)=\left\langle 1^{3},1^{6}\right\rangle=\left\langle 1,1\right\rangle.Portanto as duas curvas passam pelo mesmo ponto (1,1).
  • Derivada: \mathbf{r}_2'(t)=\left\langle 3t^{2},6t^{5}\right\rangle.Em t=1: \mathbf{r}_2'(1)=\left\langle 3,6\right\rangle.
  • A inclinação da reta tangente (quando t\neq0 e x'(t)\neq0) é \frac{dy}{dx}=\frac{6t^{5}}{3t^{2}}=2t^{3}.Em t=1 \,2, ou seja a mesma inclinação obtida para \mathbf{r}_1.
  • A reta tangente em (1,1) também é y-1=2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.
  • Compare os vetores tangentes: \mathbf{r}_1'(1)=\langle 1,2\rangle,\qquad \mathbf{r}_2'(1)=\langle 3,6\rangle=3\langle 1,2\rangle.Então a direção é a mesma (inclinação 2), mas \mathbf{r}_2'(1) tem comprimento maior. Magnitudes: \|\mathbf{r}_1'(1)\|=\sqrt{5},\qquad \|\mathbf{r}_2'(1)\|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.O vetor tangente unitário em t=1 é o mesmo para ambas: \mathbf{T}_2(1)=\frac{1}{3\sqrt{5}}\langle 3,6\rangle=\left\langle \frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right\rangle.
  • Observação importante e útil para prova (regularidade): em t=0 temos \mathbf{r}_2'(0)=\langle0,0\rangle. Isso significa que a parametrização \mathbf{r}_2 é degenerada (velocidade zero) em t=0, embora geometricamente o ponto seja suave (a parábola). Nessas situações, para achar a direção da tangente em t=0 usa-se a razão \lim_{t\to0}\frac{y'(t)}{x'(t)} ou nota-se a equação implícita y=x^{2} e deriva-se normalmente.

Passo 5

Instruções práticas de esboço e linguagem intuitiva (para fazer rápido na prova):
  • Construa primeiro a curva geométrica y=x^{2} no plano cartesiano.
  • Marque o ponto (1,1).
  • Desenhe a reta tangente y=2x-1 (linha atravessando (1,1) com inclinação 2).
  • Se quiser mostrar o vetor tangente como seta localizada em (1,1): desenhe a seta correspondente a \langle1,2\rangle (para \mathbf{r}_1) e a seta \langle3,6\rangle (para \mathbf{r}_2) — as duas apontam na mesma direção; a segunda é três vezes mais comprida.
  • Anote ao lado: ambas as trajetórias têm a mesma curva \,y=x^{2}, a diferença é apenas na parametrização (velocidade ao longo da curva).

Resposta

Para \mathbf{r}_1(t)=\langle t,t^{2}\rangle:
\mathbf{r}_1(1)=\langle 1,1\rangle,
\mathbf{r}_1'(1)=\langle 1,2\rangle,
reta tangente: y=2x-1.
Para \mathbf{r}_2(t)=\langle t^{3},t^{6}\rangle:
\mathbf{r}_2(1)=\langle 1,1\rangle,
\mathbf{r}_2'(1)=\langle 3,6\rangle,
reta tangente: y=2x-1.

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